Problem ze zmienną losową

[max123321]

Co to znaczy, że zmienna losowa \(\displaystyle{ L \le 0}\)?

Pytam bo generalnie mam udowodnić, że jeśli zmienna \(\displaystyle{ L \le 0}\) to \(\displaystyle{ EL+(E((L-EL)^+)^2)^ \frac{1}{2} \le 0 }\)

Jeszcze dodam, że symbol \(\displaystyle{ (L)^+}\) oznaczą zmienną losową \(\displaystyle{ L}\), z tym, że wszystkie ujemne wartości \(\displaystyle{ L}\) zostają zamienione na \(\displaystyle{ 0}\).

W dowodzie tym wykorzystuje się nierówność:
\(\displaystyle{ ((L-EL)^+)^2 \le (EL)^2}\)
I nie wiem skąd to się bierze. Proszę zatem o pomoc w wyjaśnieniu tych rzeczy.

[matmatmm]

Zapis ten znaczy najprawdopodobniej to co zwykle, czyli \(\displaystyle{ L}\) przyjmuje wartości niedodatnie.

W dowodzie tym wykorzystuje się nierówność:
\(\displaystyle{ ((L-EL)^+)^2 \le (EL)^2}\)
I nie wiem skąd to się bierze.

Biorąc pod uwagę założenie, że \(\displaystyle{ L\le 0}\), nierówność ta jest równoważna następującej:

\(\displaystyle{ (L-EL)^+ \le -EL}\)

gdyż \(\displaystyle{ EL\le 0}\) oraz \(\displaystyle{ (L-EL)^+\ge 0}\).

Jeśli ustalimy teraz \(\displaystyle{ \omega\in\Omega}\), to

albo \(\displaystyle{ L(\omega)-EL<0}\) i wtedy \(\displaystyle{ (L(\omega)-EL)^+=0\le|EL|=-EL}\)
albo \(\displaystyle{ L(\omega)-EL\ge 0}\) i wtedy \(\displaystyle{ (L(\omega)-EL)^+=L(\omega)-EL\le -EL}\)