zadanie - liczność ryb

[Dzbanzmatmy]

Mam problem z takim zadaniem.
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ 1000 }\) ryb złapanych w jeziorze oznaczono czerwonymi kropkami i wypuszczono. Po pewnym czasie dokonano nowego połowu \(\displaystyle{ 1000}\) ryb i znaleziono wśród nich \(\displaystyle{ 100}\) sztuk z czerwoną kropką. Jaki można wysunąć wniosek co do liczności ryb w jeziorze?

[Ponury123]

Brakuje informacji o stanie początkowym ryb w jeziorze, bez tego trudno jest wnioskować. Generalnie to można wnioskować, że stan wzrósł, bo mieliśmy 1000 czerwonych, złowiliśmy 1000, 100 jest czerwonych i mamy nowych 900 ryb - prawdopodobnie jest to potomstwo(bo nie mają czerwonej kropki).
Ale jeśli stan początkowy ryb w jeziorze wynosił np. 100 tysięcy to jednorazowy połów 1000 ryb nie daję wystarczającej ilości informacji, żeby coś wnioskować.

[Gouranga]

Jedyne co można wywnioskować to że po drugim połowie w jeziorze jest 900 ryb z kropkami pod warunkiem że nie zdechły i że kropki im się nie zmyły.

[matmatmm]

W tym zadaniu chodzi o coś innego. Pozwólcie, że sformułuje je tak, żeby nie było niejasności.

W jeziorze znajduje się \(\displaystyle{ n}\) ryb, gdzie \(\displaystyle{ n\geq 1000}\). Spośród tych \(\displaystyle{ n}\) ryb wyłowiono \(\displaystyle{ 1000}\), oznakowano i wpuszczono z powrotem do jeziora. Następnie dokonano drugiego połowu i wyłowiono ponownie \(\displaystyle{ 1000}\) ryb z czego \(\displaystyle{ 100}\) było oznakowanych. Zakładając, że ilość \(\displaystyle{ n}\) wszystkich ryb w jeziorze między pierwszym i drugim połowem się nie zmieniła, prawdopodobieństwo wyłowienia każdej ryby jest takie same, a ponadto przy drugim połowie prawdopodobieństwo wyłowienia właśnie \(\displaystyle{ 100}\) ryb oznakowanych było największe (tzn. większe niż prawdopodobieństwo wyłowienia \(\displaystyle{ k}\) ryb oznakowanych dla każdego \(\displaystyle{ k\neq 100}\)), oblicz \(\displaystyle{ n}\).

[Dzbanzmatmy]

W tym zadaniu chodzi o coś innego.

A mógłbyś pokazać jak obliczyć to n ?

[matmatmm]

Rozwiązanie na chłopski rozum to będą po prostu proporcje:

\(\displaystyle{ \frac{1000}{100}=\frac{n}{1000}}\)
\(\displaystyle{ n=10000}\)

bo drugi połów mówi nam, że \(\displaystyle{ 10\%}\) ryb zostało oznakowanych, a oznakowano dokładnie \(\displaystyle{ 1000}\) ryb.

Rozwiązanie formalne polega na rozważeniu prawdopodobieństwa wyłowienia \(\displaystyle{ k}\) ryb oznakowanych przy drugim połowie:

\(\displaystyle{ p(n,k)=\frac{{1000 \choose k}{n-1000 \choose 1000-k}}{{n \choose 1000}}}\)

i pokazaniu, że przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\) wyrażenie to jest największe dla \(\displaystyle{ k}\) spełniającego proporcje \(\displaystyle{ \frac{1000}{k}=\frac{n}{1000}}\).