Zdarzenia miary zero

[spinacz61]

Cześć. Piszę, bo mam problem ze zrozumieniem sytuacji, gdy dane zdarzenia są niepuste, ale mają prawdopodobieństwo 0. Co to w ogóle oznacza?

Biorąc przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P}) = ([0,1], Bor(\mathbb{R}), \lambda)}\), wiemy, że dla tej przestrzeni mamy \(\displaystyle{ \mathcal{P}(X \in \mathbb{Q}) = 0}\). Co to oznacza w praktyce?

[Janusz Tracz]

Jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{P}\equiv \lambda}\) to oznacza to, że prawdopodobieństwem jest miara Lebesgue’a. A niepuste zdarzenia o zerowym prawdopodobieństwie to borelowskie zbiory miary Lebesgue’a zero. Czyli przykładowo przeliczalny \(\displaystyle{ \QQ \cap \left[ 0,1\right] }\). To, że prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi \(\displaystyle{ 0}\) oznacza w praktyce, że jak na chybił trafił wybierzesz liczbę z \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) to jest nieskończenie wiele razy bardziej prawdopodobne, że trafiłeś coś niewymiernego niż coś wymiernego (tak to przynajmniej intuicyjnie rozumiem).

[spinacz61]

No dobrze, poczekam jeszcze na odpowiedzi innych, a w międzyczasie, bo już jesteśmy w tych okolicach. To jak rozumieć zbieżność prawie na pewno w kontekście MPWL? Mamy ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^\infty}\) i.i.d, to wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k}\) zbiega prawie na pewno do \(\displaystyle{ \mathbb{E}[X_1]}\). W kontekście teorii miary oznacza to po prostu, że zbiór tych \(\displaystyle{ \omega}\), które nie zbiegają do \(\displaystyle{ \mathbb{E}[X_1]}\) jest 0, ale co to oznacza w kontekście prawdopodobieństwa, w kontekście losowego eksperymentu?