Zadanie z niezależnością zdarzeń

[Terminator7]

Proszę o pomoc jak rozwiązać takie zadanie.
Podać przykład trzech zdarzeń \(\displaystyle{ A,B,C}\) dla których zachodzi \(\displaystyle{ P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C),}\) ale nie są niezależne.

[Math_Logic]

Losujemy liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\}.}\)

\(\displaystyle{ A}\) - wylosujemy liczbę parzystą.
\(\displaystyle{ B}\) - wylosujemy liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,5\}}\).
\(\displaystyle{ C}\) - Wylosujemy liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,4,7\}}\).

Równość:
\(\displaystyle{ A \cap B \cap C = \{2\}}\) czyli \(\displaystyle{ P\left(A \cap B \cap C \right) = \frac18.}\)

\(\displaystyle{ P(A)P(B)P(C) = \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 = \frac18.}\)

Brak niezależności zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{\frac18}{\frac12} = \frac{1}{16} \neq \frac12.}\)

\(\displaystyle{ P(A|C) = \frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8} \neq \frac12.}\)

\(\displaystyle{ P(B|C) = \frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8} \neq \frac12.}\)

[Jan Kraszewski]

Brak niezależności zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(A|B) =\red{ \frac{\frac18}{\frac12} = \frac{1}{16}} \neq \frac12.}\)

\(\displaystyle{ P(A|C) = \red{\frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8}} \neq \frac12.}\)

\(\displaystyle{ P(B|C) = \red{\frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8}} \neq \frac12.}\)

Na mój gust

\(\displaystyle{ \frac{\frac18}{\frac12} =\frac14\\
\frac{\frac14}{\frac12} =\frac12.}\)


JK

[Janusz Tracz]

Może ma ktoś pomysł na jakiś ciekawy podział \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]^2 }\) na \(\displaystyle{ A,B,C}\). Tak żeby z p. geometrycznego to było widać.

[a4karo]

Może ma ktoś pomysł na jakiś ciekawy podział \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]^2 }\) na \(\displaystyle{ A,B,C}\). Tak żeby z p. geometrycznego to było widać.

Weź pierwsze rozwiązanie, podziel kwadrat na osiem równoległych pasków tej samej szerokości, ponumeruj je. Dalej już chyba wiesz...

Parę fajnych przykładów i uogólnień można znaleźć w książce J.M. Stoyanov, Counterexamples in Probability, Dover Publications 2014.

[Math_Logic]

Brak niezależności zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(A|B) =\red{ \frac{\frac18}{\frac12} = \frac{1}{16}} \neq \frac12.}\)

\(\displaystyle{ P(A|C) = \red{\frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8}} \neq \frac12.}\)

\(\displaystyle{ P(B|C) = \red{\frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8}} \neq \frac12.}\)

Na mój gust

\(\displaystyle{ \frac{\frac18}{\frac12} =\frac14\\
\frac{\frac14}{\frac12} =\frac12.}\)


JK

Bardzo słuszna uwaga, dziękuję. W takim razie należy (i wystarczy) pokazać \(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{\frac18}{\frac12} =\frac14.}\)
Wystarczy, bo każdy układ zdarzeń musi być niezależny, a jak widać zdarzenia \(\displaystyle{ A, B}\) nie są niezależne.