Proszę o pomoc jak rozwiązać takie zadanie.
Podać przykład trzech zdarzeń \(\displaystyle{ A,B,C}\) dla których zachodzi \(\displaystyle{ P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C),}\) ale nie są niezależne.
Zadanie z niezależnością zdarzeń
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 4 gru 2019, o 18:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Zadanie z niezależnością zdarzeń
Losujemy liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5,6,7,8\}.}\)
\(\displaystyle{ A}\) - wylosujemy liczbę parzystą.
\(\displaystyle{ B}\) - wylosujemy liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,5\}}\).
\(\displaystyle{ C}\) - Wylosujemy liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,4,7\}}\).
Równość:
\(\displaystyle{ A \cap B \cap C = \{2\}}\) czyli \(\displaystyle{ P\left(A \cap B \cap C \right) = \frac18.}\)
\(\displaystyle{ P(A)P(B)P(C) = \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 = \frac18.}\)
Brak niezależności zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{\frac18}{\frac12} = \frac{1}{16} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ P(A|C) = \frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ P(B|C) = \frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ A}\) - wylosujemy liczbę parzystą.
\(\displaystyle{ B}\) - wylosujemy liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,5\}}\).
\(\displaystyle{ C}\) - Wylosujemy liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,4,7\}}\).
Równość:
\(\displaystyle{ A \cap B \cap C = \{2\}}\) czyli \(\displaystyle{ P\left(A \cap B \cap C \right) = \frac18.}\)
\(\displaystyle{ P(A)P(B)P(C) = \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 = \frac18.}\)
Brak niezależności zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{\frac18}{\frac12} = \frac{1}{16} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ P(A|C) = \frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ P(B|C) = \frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8} \neq \frac12.}\)
-
- Administrator
- Posty: 34277
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Zadanie z niezależnością zdarzeń
Na mój gustMath_Logic pisze: ↑21 paź 2021, o 20:43 Brak niezależności zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(A|B) =\red{ \frac{\frac18}{\frac12} = \frac{1}{16}} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ P(A|C) = \red{\frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8}} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ P(B|C) = \red{\frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8}} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac18}{\frac12} =\frac14\\
\frac{\frac14}{\frac12} =\frac12.}\)
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Zadanie z niezależnością zdarzeń
Może ma ktoś pomysł na jakiś ciekawy podział \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]^2 }\) na \(\displaystyle{ A,B,C}\). Tak żeby z p. geometrycznego to było widać.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Zadanie z niezależnością zdarzeń
Janusz Tracz pisze: ↑21 paź 2021, o 22:17 Może ma ktoś pomysł na jakiś ciekawy podział \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]^2 }\) na \(\displaystyle{ A,B,C}\). Tak żeby z p. geometrycznego to było widać.
Weź pierwsze rozwiązanie, podziel kwadrat na osiem równoległych pasków tej samej szerokości, ponumeruj je. Dalej już chyba wiesz...
Parę fajnych przykładów i uogólnień można znaleźć w książce J.M. Stoyanov, Counterexamples in Probability, Dover Publications 2014.
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Zadanie z niezależnością zdarzeń
Bardzo słuszna uwaga, dziękuję. W takim razie należy (i wystarczy) pokazać \(\displaystyle{ P(A|B) = \frac{\frac18}{\frac12} =\frac14.}\)Jan Kraszewski pisze: ↑21 paź 2021, o 21:10Na mój gustMath_Logic pisze: ↑21 paź 2021, o 20:43 Brak niezależności zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(A|B) =\red{ \frac{\frac18}{\frac12} = \frac{1}{16}} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ P(A|C) = \red{\frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8}} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ P(B|C) = \red{\frac{\frac14}{\frac12} = \frac{1}{8}} \neq \frac12.}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac18}{\frac12} =\frac14\\
\frac{\frac14}{\frac12} =\frac12.}\)
JK
Wystarczy, bo każdy układ zdarzeń musi być niezależny, a jak widać zdarzenia \(\displaystyle{ A, B}\) nie są niezależne.