Rozkład prawdopodobieństwa, dystrybuanta

[Iza8723]

Niech \(\displaystyle{ \mu }\) będzie rozkładem prawdopodobieństwa o dystrybuancie \(\displaystyle{ F}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest dana wzorem \(\displaystyle{ F(x)=(0.1+x)\mathbf{1}_{x\in[0;0.5)}+(0.4+x)\mathbf{1}_{x\in[0.5;0.55)}+\mathbf{1}_{x\in[0.55, \infty )}}\)
Znajdź \(\displaystyle{ \mu(\{0.5\}), \mu([0;0.5]), \mu((0;0.5))}\)
Dla \(\displaystyle{ \mu(\{0.5\})}\) wystarczy podstwić za \(\displaystyle{ x=0.5}\) tak? Czyli wyjdzie \(\displaystyle{ 0.9}\)?
A jak zrobić w przypadku przedziału?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \mu([a,b] ): }\)

\(\displaystyle{ [a, b] = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( a -\frac{1}{n}, b\right] }\)

\(\displaystyle{ \mu([a, b]) = \mu \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( a -\frac{1}{n}, b\right]\right) = \lim_{n \to \infty} \mu \left(\left(a -\frac{1}{n},b \right]\right)= \lim_{n\to \infty} \left ( F(b ) - F \left (a - \frac{1}{n} \right ) \right) = F(b) - \lim_{y\to a} F(y). }\)

[Iza8723]

Wyliczyłam dla \(\displaystyle{ \mu([0;0.5])}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ 0,8}\) , a dla przedziału otwartego coś się zmienia?

[janusz47]

\(\displaystyle{ (a, b) = \bigcup_{n=1}^{\infty} ( a, b -\frac{1}{n}] }\)

Proszę udowodnić, że

\(\displaystyle{ \mu((a,b)) = \lim_{y\to b} F(y) - F(a) }\)

[Janusz Tracz]

Proszę udowodnić, że

\(\displaystyle{ \mu((a,b)) = \lim_{y\to b} F(y) - F(a) }\)

A dokładniej chyba miało być tak \(\displaystyle{ \mu((a,b)) = \lim_{y\to b^{-}} F(y) - F(a) }\)?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \mu((a,b)) = \lim_{y \nearrow b} F(y) - F(a) }\)