Znajdź rozkład sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach \(\displaystyle{ U(0,1)}\).
Dodano po 1 minucie 2 sekundach:
Wiem, że trzeba skorzystać ze splotu gęstości, tylko jakby ktoś mógł to rozpisać (najlepiej krok po kroku) to byłbym wdzięczny.
Zadanie- rozkład sumy dwóch zmiennych niezależnych jednostajnych
-
Mathelp997
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 27 sie 2021, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Zadanie- rozkład sumy dwóch zmiennych niezależnych jednostajnych
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2021, o 14:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Zadanie- rozkład sumy dwóch zmiennych niezależnych jednostajnych
\(\displaystyle{ X \sim U(0,1), \ \ Y \sim U(0,1): }\)
\(\displaystyle{ f(x) = f_{X}(x) = f_{Y}(y) = \begin{cases} 1 \ \ \mbox{dla} \ \ x\in (0,1) \\ 0 \ \ \mbox{dla pozostałych} \ \ x. \end{cases} }\)
Zmienne losowe są niezależne, więc gęstość łączna wektora \(\displaystyle{ (X,Y) }\) jest iloczynem gęstości brzegowych
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)} (x,y) = f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y) }\) dla \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^2 }\)
Skorzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ Pr[ \phi(x,y)\in (a,b) ] = Pr_ {(X,Y)} [\{(x,y): \phi(x,y)\in(a,b)\}] = \iint_{\{(x,y): \phi(x,y)\in(a,b)\}} f_{(X,Y)}(x,y)dx dy }\)
Przyjmujemy \(\displaystyle{ \phi: \RR^2 \rightarrow \RR, \ \ \phi(x,y) = x + y }\)
\(\displaystyle{ F_{Z = X+Y}(z) = Pr[\phi(x,y) < z] = \iint_{\{(x,y): (x+y) < z \}} f_{(X,Y)}(x,y)dx dy = \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{z-x}^{\infty}f_{(X,Y)}(x,y) dy }\)
W całce wewnętrznej podstawiamy \(\displaystyle{ y = z -x }\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{z}^{\infty} f_{(X,Y)} (x, z- x) dz }\)
W celu znalezienia funkcji gęstości obliczamy pochodną dystrybuanty w punkcie \(\displaystyle{ z = x+y }\) gdzie \(\displaystyle{ (x,y) }\) jest punktem ciągłości gęstości łącznej
\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = F'(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{(X,Y)}(x, z-x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) \cdot f_{Y}(z-x)dx }\)
Otrzymany wzór na postać niejawną funkcji gęstości wymaga obliczenia całki.
Ponieważ \(\displaystyle{ f_{Y}(y) = f_{Y}(z-x) }\) więc
\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = F'(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{(X,Y)}(x, z-x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X} \cdot f_{Y}(z-x)dx = f_{X}(x)*f_{Y}(y). }\)
Operacja \(\displaystyle{ * }\) jest splotem funkcji gęstości.
W naszym przypadku: \(\displaystyle{ 0 < x < 1, \ \ 0 < z - x < 1, \ \ -z < -x< 1 -z, \ \ z -1 < x < z. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = \begin{cases} 0 \ \ \mbox{dla} \ \ z <0 \\ \int_{0}^{z} 1\cdot 1 dx = z \ \ \mbox{dla } \ \ 0 < z < 1 \\ \int_{z-1}^{1}1\cdot 1 dx = 2-z \ \ \mbox{dla} \ \ 1 < z< 2 \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ 2< z. \end{cases} }\)
Uwaga
Jeśli w układzie współrzędnych prostokątnych \(\displaystyle{ Ox, Oz }\) narysujemy dwie proste \(\displaystyle{ z = x, \ \ z = x+1 }\) to całkowanie odbywa się po wnętrzu dwóch trójkątów prostokątnych:
\(\displaystyle{ T_{1} = \{ x,z)\in \RR^2: 0 < x < z , \ \ 0 < z < 1 \} }\)
\(\displaystyle{ T_{2} = \{ x, z)\in\RR^2 : z-1 < x < 1 , \ \ 1 < z < 2 \}, }\)
stąd nazwa otrzymanego rozkładu - rozkład trójkątny.
\(\displaystyle{ f(x) = f_{X}(x) = f_{Y}(y) = \begin{cases} 1 \ \ \mbox{dla} \ \ x\in (0,1) \\ 0 \ \ \mbox{dla pozostałych} \ \ x. \end{cases} }\)
Zmienne losowe są niezależne, więc gęstość łączna wektora \(\displaystyle{ (X,Y) }\) jest iloczynem gęstości brzegowych
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)} (x,y) = f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y) }\) dla \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^2 }\)
Skorzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ Pr[ \phi(x,y)\in (a,b) ] = Pr_ {(X,Y)} [\{(x,y): \phi(x,y)\in(a,b)\}] = \iint_{\{(x,y): \phi(x,y)\in(a,b)\}} f_{(X,Y)}(x,y)dx dy }\)
Przyjmujemy \(\displaystyle{ \phi: \RR^2 \rightarrow \RR, \ \ \phi(x,y) = x + y }\)
\(\displaystyle{ F_{Z = X+Y}(z) = Pr[\phi(x,y) < z] = \iint_{\{(x,y): (x+y) < z \}} f_{(X,Y)}(x,y)dx dy = \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{z-x}^{\infty}f_{(X,Y)}(x,y) dy }\)
W całce wewnętrznej podstawiamy \(\displaystyle{ y = z -x }\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{z}^{\infty} f_{(X,Y)} (x, z- x) dz }\)
W celu znalezienia funkcji gęstości obliczamy pochodną dystrybuanty w punkcie \(\displaystyle{ z = x+y }\) gdzie \(\displaystyle{ (x,y) }\) jest punktem ciągłości gęstości łącznej
\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = F'(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{(X,Y)}(x, z-x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) \cdot f_{Y}(z-x)dx }\)
Otrzymany wzór na postać niejawną funkcji gęstości wymaga obliczenia całki.
Ponieważ \(\displaystyle{ f_{Y}(y) = f_{Y}(z-x) }\) więc
\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = F'(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{(X,Y)}(x, z-x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X} \cdot f_{Y}(z-x)dx = f_{X}(x)*f_{Y}(y). }\)
Operacja \(\displaystyle{ * }\) jest splotem funkcji gęstości.
W naszym przypadku: \(\displaystyle{ 0 < x < 1, \ \ 0 < z - x < 1, \ \ -z < -x< 1 -z, \ \ z -1 < x < z. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = \begin{cases} 0 \ \ \mbox{dla} \ \ z <0 \\ \int_{0}^{z} 1\cdot 1 dx = z \ \ \mbox{dla } \ \ 0 < z < 1 \\ \int_{z-1}^{1}1\cdot 1 dx = 2-z \ \ \mbox{dla} \ \ 1 < z< 2 \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ 2< z. \end{cases} }\)
Uwaga
Jeśli w układzie współrzędnych prostokątnych \(\displaystyle{ Ox, Oz }\) narysujemy dwie proste \(\displaystyle{ z = x, \ \ z = x+1 }\) to całkowanie odbywa się po wnętrzu dwóch trójkątów prostokątnych:
\(\displaystyle{ T_{1} = \{ x,z)\in \RR^2: 0 < x < z , \ \ 0 < z < 1 \} }\)
\(\displaystyle{ T_{2} = \{ x, z)\in\RR^2 : z-1 < x < 1 , \ \ 1 < z < 2 \}, }\)
stąd nazwa otrzymanego rozkładu - rozkład trójkątny.