Dana jest funkcja
\(\displaystyle{ f(x,y) =\begin{cases} c|x -y| &\text{dla } 1 \le x \le -1 \text{ oraz }1 \le y \le -1 &\\ 0&\text{ poza tym} \end{cases}}\)
Dla jakiego \(\displaystyle{ c}\) powyższa funkcja jest funkcją gęstości wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\). Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.
Rachunek prawdopodobieństwa- funkcja gęstości wektora losowego
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 27 sie 2021, o 11:49
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Rachunek prawdopodobieństwa- funkcja gęstości wektora losowego
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2021, o 22:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rachunek prawdopodobieństwa- funkcja gęstości wektora losowego
Proszę poprawić zapis funkcji gęstości łącznej wektora losowego:
\(\displaystyle{ f(x,y) =\begin{cases} c|x -y| &\text{dla } -1 \le x \le 1 \text{ oraz } -1 \le y \le 1 &\\ 0&\text{ poza tym}. \end{cases} }\)
Stałą \(\displaystyle{ c }\) wyznaczamy z warunku normalizacji gęstości łącznej:
\(\displaystyle{ 1 = P_{(X,Y)} (\RR^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f_{(X,Y)}(x,y)dx dy = \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}c|x-y|dxdy. }\)
Aby odpowiedzieć na pytanie, czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y }\) są niezależne, należy policzyć gęstości brzegowe:
\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{(X,Y)}(x,y) dy = \int_{-1}^{1} f_{(X,Y)}(x,y)dy }\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{(X,Y)}(x,y) dx = \int_{-1}^{1} f_{(X,Y)}(x,y)dx }\)
i sprawdzić czy zachodzi równość (warunek niezależności):
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y). }\)
\(\displaystyle{ f(x,y) =\begin{cases} c|x -y| &\text{dla } -1 \le x \le 1 \text{ oraz } -1 \le y \le 1 &\\ 0&\text{ poza tym}. \end{cases} }\)
Stałą \(\displaystyle{ c }\) wyznaczamy z warunku normalizacji gęstości łącznej:
\(\displaystyle{ 1 = P_{(X,Y)} (\RR^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}f_{(X,Y)}(x,y)dx dy = \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}c|x-y|dxdy. }\)
Aby odpowiedzieć na pytanie, czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y }\) są niezależne, należy policzyć gęstości brzegowe:
\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{(X,Y)}(x,y) dy = \int_{-1}^{1} f_{(X,Y)}(x,y)dy }\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{(X,Y)}(x,y) dx = \int_{-1}^{1} f_{(X,Y)}(x,y)dx }\)
i sprawdzić czy zachodzi równość (warunek niezależności):
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y). }\)