Mam mały problem ze zrozumieniem skąd wiadomo, że mamy do czynienia z niezależnością zdarzeń. Poniżej podaję treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ (X_1, X_2, ..., X_n) }\) będą próbami Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p \in (0, 1)}\) oraz \(\displaystyle{ S_n = X_1 + ... + X_n}\). Dla \(\displaystyle{ m \le k \le n }\) naturalnych. Sprawdź, że \(\displaystyle{ P(S_m = j | S_n = k) = \frac{ {m \choose j} {n - m \choose k - j}}{{n \choose k}}}\)
Ogółem, to dochodzę do momentu, gdzie mam \(\displaystyle{ \frac{P(X_1 + ... + X_m = j, X_{m+1} + ... + X_n = k - j)}{P(S_n = k)} }\) i tutaj mam pewien problem: mianowicie nie wiem, jak sprawdzić niezależność tych dwóch zdarzeń. Definicja jest pozornie prosta, to jest zdarzenia są niezależne, jeśli \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A)P(B) }\), ale nie bardzo wiem, jak zapisać prawdopodobieństwo takiego przekroju. Sam przekrój wydaje mi się, że rozumiem: to są takie ciągi zero-jedynkowe o długości \(\displaystyle{ n}\), że suma pierwszych \(\displaystyle{ m }\) wyrazów wynosi dokładnie \(\displaystyle{ j }\), zaś suma wyrazów od \(\displaystyle{ m + 1 }\) do \(\displaystyle{ n }\) ma wynosić \(\displaystyle{ k - j}\). Na chłopski rozum mógłbym powiedzieć, że na te pierwsze \(\displaystyle{ m }\) miejsc wybieramy dokładnie \(\displaystyle{ j }\) jedynek i summa summarum wyszłoby mi dokładnie tyle, ile ma wyjść, ale sęk w tym, że takie rozumowanie już samo w sobie korzysta z niezależności. Tak więc jeśli byłby ktoś na tyle miły, by pomóc mi to zrozumieć, to byłbym bardzo wdzięczny
PS: Zdaję sobie sprawę z tego, że jeszcze powinno być założenie co do \(\displaystyle{ j }\), ale najwidoczniej wykładowca to pominął przy układaniu zadania.
Próby Bernoulliego - problem z niezależnością
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 7 maja 2020, o 22:37
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Próby Bernoulliego - problem z niezależnością
Wygląda na to, że tutaj powinno być założenie o niezależności tych prób Bernoulliego. Jeśli dodamy takie założenie, to można skorzystać z takiego twierdzenia:Gods_Eater pisze: ↑16 sie 2021, o 19:25 Niech \(\displaystyle{ (X_1, X_2, ..., X_n) }\) będą próbami Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p \in (0, 1)}\)
Tw. Załóżmy, że \(\displaystyle{ (X_1,\ldots, X_n)}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi, a \(\displaystyle{ (i_1,\ldots, i_l)}\) jest ściśle rosnącym ciągiem liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,\ldots, n\}}\) (wtedy \(\displaystyle{ 1\leq l \leq n}\)). Wówczas wektory losowe
\(\displaystyle{ (X_1,\ldots, X_{i_1})}\)
\(\displaystyle{ (X_{i_1+1},\ldots,X_{i_2})}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
\(\displaystyle{ (X_{i_{l-1}+1},\ldots, X_{i_l})}\)
są niezależne.
Jak zastosujemy to twierdzenie do naszego ciągu \(\displaystyle{ (X_1,\ldots, X_n)}\) i do ciągu \(\displaystyle{ (i_1,i_2)=(m,n)}\) (wtedy \(\displaystyle{ l=2}\)), to dostaniemy, że wektory losowe \(\displaystyle{ (X_1,\ldots, X_m), (X_{m+1},\ldots, X_n)}\) są niezależne. Następnie jak obłożymy te wektory odpowiednimi funkcjami borelowskimi, to dostaniemy niezależność zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_1+\ldots+X_m, X_{m+1}+\ldots+X_n}\).
PS. Rzeczywiście powinno być założenie o \(\displaystyle{ j}\). No i mam nadzieję, że jesteś zaznajomiony z niezależnością zmiennych losowych (nie tylko zdarzeń).
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 7 maja 2020, o 22:37
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Próby Bernoulliego - problem z niezależnością
Nie jestem za bardzo zaznajomiony z niezależnością zmiennych losowych, jeszcze kawałek do nich mam, z tego co widzę w spisie treści w skrypcie. Co ogółem jest dziwne patrząc na to, że jest to w zasadzie niezbędne do pełnego rozwiązania zadania Ale wydaje mi się, że rozumiem w czym rzecz, pewnie w domyśle miało być założenie o niezależności prób.