Witam, mam problem z takim zadaniem:
\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\). Oblicz funkcję charakterystyczną iloczynu \(\displaystyle{ XY}\).
Wiem, że funkcja charakterystyczna rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) to \(\displaystyle{ \varphi_x(t) = e^{\frac{-t^2}{2}}}\), ale nie mam pojęcia co dalej zrobić.
Funkcja charakterystyczna iloczynu
-
aleksandra05
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 31 maja 2021, o 12:35
- Płeć: Kobieta
- wiek: 25
- Podziękował: 1 raz
-
Tmkk
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Funkcja charakterystyczna iloczynu
Można sobie zwarunkować na jedną ze zmiennych:
\(\displaystyle{ \varphi_{XY}(t) = \mathbb{E}\left(e^{itXY}\right) = \mathbb{E}\left(\mathbb{E}\left(e^{itXY} \ \vert \ Y\right)\right) = \mathbb{E}\left(\varphi_{X}(tY)\right)}\),
gdzie ostatnie przejście wynika z niezależności. Dalej już powinno być prosto. Jeśli nie lubisz takiego warunkowania, można też po prostu rozpisać (znowu korzystająć z niezależności)
\(\displaystyle{ \varphi_{XY}(t) = \int_{\mathbb{R}^2} e^{itxy}f_{(X,Y)}(x,y)\mbox{d}(x,y) = \int_{\mathbb{R}^2} e^{itxy}f_X(x)f_Y(y)\mbox{d}x\mbox{d}y}\)
i po bardzo prostych przekształceniach dostaniesz to samo, co w pierwszym sposobie.
\(\displaystyle{ \varphi_{XY}(t) = \mathbb{E}\left(e^{itXY}\right) = \mathbb{E}\left(\mathbb{E}\left(e^{itXY} \ \vert \ Y\right)\right) = \mathbb{E}\left(\varphi_{X}(tY)\right)}\),
gdzie ostatnie przejście wynika z niezależności. Dalej już powinno być prosto. Jeśli nie lubisz takiego warunkowania, można też po prostu rozpisać (znowu korzystająć z niezależności)
\(\displaystyle{ \varphi_{XY}(t) = \int_{\mathbb{R}^2} e^{itxy}f_{(X,Y)}(x,y)\mbox{d}(x,y) = \int_{\mathbb{R}^2} e^{itxy}f_X(x)f_Y(y)\mbox{d}x\mbox{d}y}\)
i po bardzo prostych przekształceniach dostaniesz to samo, co w pierwszym sposobie.