Cześć mam takie zadanie:
Wektor \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład ciągły o gęstości
\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x}{ \sqrt{y} } &\text{dla }(x,y)\in(0,1)^2 \\ 0 &\text{wpp} \end{cases} }\).
\(\displaystyle{ Cov(X,\max(X,Y))}\) wynosi?
Teraz co udało mi się policzyć:
\(\displaystyle{ f_X (x)= \int_{0}^{1}\frac{x}{ \sqrt{y} }dy= 2x}\)
\(\displaystyle{ f_Y (y)= \int_{0}^{1}\frac{x}{ \sqrt{y} }dx= \frac{1}{ 2\sqrt{y} }}\)
niech \(\displaystyle{ Z=\max(X,Y)}\) po policzeniu dystrybuant wyszło
\(\displaystyle{ F_Z(z)=z^2\sqrt{z}}\)
czyli
\(\displaystyle{ f_Z(z)=F'_Z(z)=\frac{5}{2}z^{\frac{3}{2}}}\)
Jak teraz policzyć \(\displaystyle{ E(XZ)}\)? Czy to powyżej jest dobrze?
Kowariancja zmiennych X i max(X,Y)
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 maja 2021, o 16:49
- Płeć: Kobieta
- wiek: 26
- Podziękował: 2 razy
Kowariancja zmiennych X i max(X,Y)
Ostatnio zmieniony 21 cze 2021, o 21:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Kowariancja zmiennych X i max(X,Y)
Cześć : )
Do tej pory jest dobrze, tylko pisz jeszcze indykatory przy tych gęstościach, na przykład \(\displaystyle{ f_X(x) = 2x 1_{(0,1)}(x)}\) lub \(\displaystyle{ f_X(x) = 2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\). Jeśli chodzi o wartość oczekiwaną, to bardzo łatwo, bo znasz gęstość łączną, więc po prostu:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(g(X,Y)) = \int_{\mathbb{R}^2} g(x,y)f_{(X,Y)}(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y}\),
gdzie \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}}\) to ta gęstość wektora, którą napisałaś na początku. No i teraz wystarczy wziąć funkcję \(\displaystyle{ g(x,y) = x\max(x,y)}\).
Do tej pory jest dobrze, tylko pisz jeszcze indykatory przy tych gęstościach, na przykład \(\displaystyle{ f_X(x) = 2x 1_{(0,1)}(x)}\) lub \(\displaystyle{ f_X(x) = 2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\). Jeśli chodzi o wartość oczekiwaną, to bardzo łatwo, bo znasz gęstość łączną, więc po prostu:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(g(X,Y)) = \int_{\mathbb{R}^2} g(x,y)f_{(X,Y)}(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y}\),
gdzie \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}}\) to ta gęstość wektora, którą napisałaś na początku. No i teraz wystarczy wziąć funkcję \(\displaystyle{ g(x,y) = x\max(x,y)}\).