Kowariancja zmiennych X i max(X,Y)

[Justia13]

Cześć mam takie zadanie:
Wektor \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład ciągły o gęstości

\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x}{ \sqrt{y} } &\text{dla }(x,y)\in(0,1)^2 \\ 0 &\text{wpp} \end{cases} }\).

\(\displaystyle{ Cov(X,\max(X,Y))}\) wynosi?

Teraz co udało mi się policzyć:
\(\displaystyle{ f_X (x)= \int_{0}^{1}\frac{x}{ \sqrt{y} }dy= 2x}\)
\(\displaystyle{ f_Y (y)= \int_{0}^{1}\frac{x}{ \sqrt{y} }dx= \frac{1}{ 2\sqrt{y} }}\)
niech \(\displaystyle{ Z=\max(X,Y)}\) po policzeniu dystrybuant wyszło
\(\displaystyle{ F_Z(z)=z^2\sqrt{z}}\)
czyli
\(\displaystyle{ f_Z(z)=F'_Z(z)=\frac{5}{2}z^{\frac{3}{2}}}\)
Jak teraz policzyć \(\displaystyle{ E(XZ)}\)? Czy to powyżej jest dobrze?

[Tmkk]

Cześć : )

Do tej pory jest dobrze, tylko pisz jeszcze indykatory przy tych gęstościach, na przykład \(\displaystyle{ f_X(x) = 2x 1_{(0,1)}(x)}\) lub \(\displaystyle{ f_X(x) = 2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\). Jeśli chodzi o wartość oczekiwaną, to bardzo łatwo, bo znasz gęstość łączną, więc po prostu:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(g(X,Y)) = \int_{\mathbb{R}^2} g(x,y)f_{(X,Y)}(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y}\),

gdzie \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}}\) to ta gęstość wektora, którą napisałaś na początku. No i teraz wystarczy wziąć funkcję \(\displaystyle{ g(x,y) = x\max(x,y)}\).