Łańcuchy Markowa

[Rafcio_srubka]

Witam, prosze o sprawdzenie zadania:
Dwaj gracze A i B zasiadają do gry w szachy. Rozgrywka może zakończyć się jednym z trzech wyników: wygrana gracza A, wygrana gracza B, remis. Z wieloletnich obserwacji wynika,że jeśli w poprzedniej rozgrywce był remis, to w następnej rozgrywce gracz A wygrywa z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) , zaś gracz B z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\). Jeśli partię wygrał gracz A, to w następnej rozgrywce zwycięzcą będzie gracz A z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{4}{10}}\), gracz B zaś z prawdopodbieństwem \(\displaystyle{ \frac{5}{10}}\). Jeśli partię wygrał gracz B, to w następnej rozgrywce zwycięzcą będzie gracz A z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{6}{10}}\) , gracz B zaś z prawdopodbieństwem \(\displaystyle{ \frac{3}{10}}\).W pierwszej rozgrywce szanse na wygraną gracza A, gracza B i remis są jednakowe.

(a)Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwsza wygrana nastąpiła dopiero wdziesiątej rozgrywce.
(b)Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że cztery pierwsze partie kończyły się naprzemian zwycięstwami gracza A i gracza B.

Moje odpowiedzi:
Stan 1 - wygrywa gracz A
Stan 2 - wygrywa gracz B
Stan 3 - remis

a) \(\displaystyle{ p_{31} p_{32} ( p_{33} )^{8} \frac{1}{3} = \frac{8}{1125} }\)

b) Gry zaczynamy od gracza A mamy: \(\displaystyle{ p_{21} p_{12} p_{21} p_{12} }\)
lub możemy zaczynać od gracza B i wtedy mamy: \(\displaystyle{ p_{12} p_{21} p_{12} p_{21} }\)
Czyli nasze prawdopodobieństwo jest równe \(\displaystyle{ 2 * p_{12}^{2} p_{21}^{2} = \frac{9}{50} }\)

Proszę o sprawdzenie