Klasę liczącą

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Klasę liczącą

Post autor: max123321 »

Klasę liczącą \(\displaystyle{ 10}\) dziewczynek i \(\displaystyle{ 20}\) chłopców podzielono na \(\displaystyle{ 3}\) grupy \(\displaystyle{ 10}\) osobowe. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję liczby dziewczynek w pierwszej grupie.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Prawdopodobieństwo, że w grupie pierwszej będzie \(\displaystyle{ k}\) dziewczynek wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{ {10 \choose k} {20 \choose 10-k} {20 \choose 10} }{ {30 \choose 10} {20 \choose 10} } }\)
Licznik: Wybieramy \(\displaystyle{ k}\) dziewczynek spośród \(\displaystyle{ 10}\) do pierwszej grupy, następnie resztę pierwszej grupy uzupełniamy chłopcami, czyli wybieramy \(\displaystyle{ 10-k}\) chłopców spośród \(\displaystyle{ 20}\) i teraz pozostaje jeszcze \(\displaystyle{ 20}\) osób, z których wybieramy \(\displaystyle{ 10}\) do drugiej grupy. Do trzeciej idzie to co pozostanie.
Mianownik: Wszystkie możliwości to wybrać z \(\displaystyle{ 30}\) osób dowolne \(\displaystyle{ 10}\) do pierwszej grupy i z pozostałych \(\displaystyle{ 20}\) wybrać \(\displaystyle{ 10}\) do drugiej grupy. Trzecia grupa zostaje wyznaczona automatycznie. Zatem:

\(\displaystyle{ EX= \sum_{k=0}^{10} \frac{k \cdot {10 \choose k} {20 \choose 10-k} {20 \choose 10} }{ {30 \choose 10} {20 \choose 10} } }\)

I tutaj niestety nie wiem jak to obliczyć. Na wolframie wychodzi z tego ładny wynik \(\displaystyle{ \frac{10}{3} }\) i to się wydaje logiczne bo te dziewczynki średnio powinny występować w każdej grupie po tyle samo. Ale jak to wyliczyć? A może to lepiej to jakoś inaczej liczyć? Czy tak jest dobrze w ogóle?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Klasę liczącą

Post autor: Tmkk »

Twoja intuicja jest dobra, tyle powinno wyjść.

Jeśli chodzi o tę sumę, upewnij się najpierw, że rozumiesz, że prawdopodobieństwa sumują się do jedynki, tzn że zachodzi

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{10} {10 \choose k}{20 \choose 10-k} = {30 \choose 10}\qquad}\) \(\displaystyle{ (*)}\)

Kombinatoryczny dowód tego faktu, to jest właściwie to zadanie. Z jednej strony bierzemy do grupy \(\displaystyle{ k}\) dziewczynek oraz \(\displaystyle{ 10-k}\) chłopców, \(\displaystyle{ k=0,1,2,\ldots ,10}\) - to jest lewa strona tej równości, a z drugiej strony bierzemy po prostu \(\displaystyle{ 10}\) osób ze wszystkich \(\displaystyle{ 30}\) - to jest prawa strona.

Teraz masz bardzo podobną sumę, bo \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{10} k{10 \choose k}{20 \choose 10-k}}\) i wskazówka jest taka: po drobnych przekształceniach, będziesz w stanie pozbyć się tego problematycznego \(\displaystyle{ k}\) i doprowadzić do bardzo podobnej sumy jak w \(\displaystyle{ (*)}\). Po podzieleniu przez mianownik, wyjdzie co trzeba. Wariancja będzie szła bardzo podobnie.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Klasę liczącą

Post autor: max123321 »

Tak, znałem ten fakt kombinatoryczny i widziałem to podobieństwo z tą drugą sumą, ale nie wiem jak sobie poradzić z tym \(\displaystyle{ k}\). Próbowałem wypisać te \(\displaystyle{ 11}\) składników, porozdzielać i zmienić kolejność sumowania, ale nic mi z tego nie wyszło jak na razie, nie wiem czy tędy droga. Dlatego proszę jeszcze o dalszą pomoc albo jakieś wskazówki.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Klasę liczącą

Post autor: Tmkk »

Spróbuj zacząć tak:

\(\displaystyle{ k{10 \choose k} = k \frac{10!}{k!(10-k)!} = \frac{10!}{(k-1)!(10-k)!} = 10\cdot\frac{9!}{(k-1)!(9-(k-1))!} = 10\cdot {9 \choose k-1}}\).
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Klasę liczącą

Post autor: max123321 »

Ok, to teraz już chyba wiem jak tą wartość oczekiwaną policzyć:

\(\displaystyle{ EX= \sum_{k=0}^{10} \frac{k {10 \choose k} {20 \choose 10-k} }{ {30 \choose 10} } = }\)
\(\displaystyle{ =\sum_{k=1}^{10} \frac{10 {9 \choose k-1} {20 \choose 9-(k-1)} }{ {30 \choose 10} }=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{10 {29 \choose 9} }{ {30 \choose 10} }= }\)
\(\displaystyle{ =10 \cdot \frac{29!10!20!}{9!20!30!}= \frac{10}{3} }\)

Tak jest dobrze?

No dobra, ale tą wariancję to nie wiem jak policzyć, mamy coś takiego:

\(\displaystyle{ EX^2=\sum_{k=0}^{10} \frac{k^2 {10 \choose k} {20 \choose 10-k} }{ {30 \choose 10} } }\)

No i tu mam problem bo te \(\displaystyle{ k^2}\) się tak ładnie nie skróci jak poprzednio, jedno \(\displaystyle{ k}\) zostanie. Jak sobie z tym poradzić?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Klasę liczącą

Post autor: Premislav »

Powinna tu zadziałać podobna sztuczka, jak w elementarnej metodzie wyznaczania wariancji dla rozkładu dwumianowego, tj.
\(\displaystyle{ k=(k-1)+1}\) i rozbić na dwie sumy, w jednej z nich skracając jeszcze \(\displaystyle{ k-1}\) wg
\(\displaystyle{ m{n\choose m}=n{n-1\choose m-1}}\)… (czyli tak samo, jak skracasz \(\displaystyle{ k}\) zapewne).
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Klasę liczącą

Post autor: max123321 »

No dobra to już chyba wiem:

\(\displaystyle{ EX^2= \sum_{k=0}^{10} \frac{k^2 {10 \choose k} {20 \choose 10-k} }{ {30 \choose 10} }= }\)
\(\displaystyle{ = \sum_{k=1}^{10} \frac{k*10* {9 \choose k-1} {20 \choose 9-(k-1)} }{ {30 \choose 10} }=}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{k=0}^{9} \frac{(k+1)*10* {9 \choose k} {20 \choose 9-k)} }{ {30 \choose 10} }=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{10}{ {30 \choose 10} } \sum_{k=0}^{9}( k {9 \choose k} {20 \choose 9-k}+ {9 \choose k} {20 \choose 9-k}))= }\)
\(\displaystyle{ = \frac{10}{ {30 \choose 10} }\left( \left( 9 \sum_{k=1}^{9} \frac{8!}{(k-1)!(8-(k-1))!} {20 \choose 9-k} \right)+ {29 \choose 9} \right) = }\)
\(\displaystyle{ =\frac{10}{ {30 \choose 10} }\left( \left( 9 \sum_{k=1}^{9} {8 \choose k-1} {20 \choose 8-(k-1)} \right)+ {29 \choose 9} \right)=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{10}{ {30 \choose 10} }\left( 9 {28 \choose 8}+ {29 \choose 9} \right)=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{10}{ {30 \choose 10} }\left( 9 \cdot \frac{28!}{8!20!}+ \frac{29!}{9!20!} \right)=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{10}{ {30 \choose 10} }\left( \frac{81*28!+29!}{9!20!} \right)=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{10*10!20!}{30!}\left( \frac{81*28!+29!}{9!20!} \right) = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{100(81+29)}{29*30}= \frac{100*110}{29*30}= \frac{1100}{87} }\)

A zatem:
\(\displaystyle{ VarX=EX^2-(EX)^2= \frac{1100}{87}- \frac{100}{9}= \frac{400}{261} }\)

Czy tak jest dobrze?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Klasę liczącą

Post autor: Premislav »

Tak, jest w porządku.
ODPOWIEDZ