Zbieżność z wykorzystaniem MPWL

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Gods_Eater
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 7 maja 2020, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Zbieżność z wykorzystaniem MPWL

Post autor: Gods_Eater »

Mam do wyznaczenia granicę przy pomocy Mocnego prawa wielkich liczb, ale za Chiny nie rozumiem, jak się ono ma do tego zadania:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_{1}^{0} \int_{1}^{0} ... \int_{1}^{0} f( \sqrt[n]{x_1x_2x_3...x_n})dx_1dx_2...dx_n}\), gdzie \(\displaystyle{ f: [0, 1] \rightarrow \RR}\) jest ciągła.
Próbowałem oczywiście szukać jakichkolwiek objaśnień, czy nawet wytłumaczenia tematu, ale wszędzie są suche definicje, które szczerze powiedziawszy za wiele mi nie pomagają.
Ostatnio zmieniony 27 maja 2021, o 22:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbieżność z wykorzystaniem MPWL

Post autor: Janusz Tracz »

Zobacz tu

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/3681065/prove-lim-n-to-infty-int-01-dots-int-01-f-sqrtnx-1-dots-x-ndx-1?noredirect=1
albo tu

Kod: Zaznacz cały

https://artofproblemsolving.com/community/c7h2158897p15980517
.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zbieżność z wykorzystaniem MPWL

Post autor: Premislav »

U Jakubowskiego i Sztencla to pokrótce wyjaśniono (mianowicie w książce Wstęp do teorii prawdopodobieństwa). Pewnie bym się machnął w jakichś szczegółach teoretycznych, co mogłoby być szkodliwe z edukacyjnego punktu widzenia, więc pozwolę sobie przytoczyć fragment:

MPWL jest bardzo ważne z punktu widzenia zastosowań. Omówimy tu kilka z nich:
(…)
B. Metoda Monte Carlo obliczania całek. Jest to przykład zastosowania probabilistyki do problemów determinsitycznych, dość zresztą efektowny, ponieważ metody tej po raz pierwszy użył Stanisław Ulam do obliczeń związanych z bombą atomową.
Metoda jest przydatna zwłaszcza do obliczania całek wielokrotnych. Przedstawimy ją na przykładzie całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(x)\mbox{d}x}\),
której nie potrafimy obliczyć teoretycznie, ale wiemy, że istnieje. Niech \(\displaystyle{ X_{i}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wartościach w \(\displaystyle{ (0,1)}\) i gęstości \(\displaystyle{ g}\). Wtedy z MPWL
\(\displaystyle{ S_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{f(X_{i})}{g(X_{i})}\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow \mathbf{E}\left(\frac{f(X_{1})}{g(X_{1})}\right)\\=\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{g(x)}g(x)\mbox{d}x=\int_{0}^{1}f(x)\mbox{d}x}\) prawie na pewno. Zatem obliczając \(\displaystyle{ S_{n}}\), aproksymujemy całkę. (…)


Pozostaje wskazówka praktyczna. Mianowicie jak zrobić ze średniej geometrycznej średnią arytmetyczną innych zmiennych? Otóż korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ x=e^{\ln x}, \ x>0}\).
ODPOWIEDZ