W pojemniku znajdują się dwie monety: na pierwszej orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0.6}\), na drugiej - z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0.3}\). Losujemy monetę i wykonujemy nią rzut. Możemy postawić \(\displaystyle{ x}\) zł \(\displaystyle{ (0 \le x \le 10)}\) na to, że wypadnie orzeł w przypadku gdy tak się stanie, zyskujemy \(\displaystyle{ x}\) zł, w przeciwnym razie tracimy \(\displaystyle{ x}\) zł.
i) Jaka jest wartość oczekiwana wygranej? Jaka jest optymalna strategia?
ii) Załóżmy, że za dodatkowe \(\displaystyle{ c \ge 0}\) złotych możemy kupić informację która moneta
została wylosowana (na podstawie tej informacji możemy wybrać wysokość stawki).
Dla jakich \(\displaystyle{ c}\) opłaca się przyjąć tę ofertę? Jaka jest optymalna strategia?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
W pierwszym podpunkcie prawdopodobieństwo, że wygramy \(\displaystyle{ x}\) złotych jest równe:
\(\displaystyle{ P(X=x)=1/2 \cdot 0,6+1/2 \cdot 0,3=0,45}\)
Prawdopodobieństwo, że przegramy \(\displaystyle{ x}\) złotych jest równe:
\(\displaystyle{ P(X=-x)=1/2 \cdot 0,4+1/2 \cdot 0,7=0,55}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ EX=0,45x+0,55(-x)=-0,1x}\)
Ta wartość oczekiwana jest na minusie więc zmaksymalizujemy ją obstawiając \(\displaystyle{ x=0}\) złotych i to jest optymalna strategia.
W drugim podpunkcie nie wiem za bardzo jak to opisać, ale byłoby to coś takiego:
Jeśli kupujemy informację i okazało się, że rzucamy lepszą dla nas monetą, to wartość oczekiwana wygranej wynosi \(\displaystyle{ EX_1=0,6x-0,4x-c=0,2x-c}\) i najbardziej opłaca się obstawić \(\displaystyle{ x=10}\) zł wtedy średnio wygrywamy \(\displaystyle{ EX_1=2-c}\) złotych.
Jeśli zaś kupiliśmy informację i okazało się, że rzucamy gorszą monetą to:
\(\displaystyle{ EX_2=0,3x-0,7x-c=-0,4x-c}\) i najbardziej wtedy opłaca się obstawić \(\displaystyle{ x=0}\), wtedy średnio wygrywamy \(\displaystyle{ EX_2=-c}\) złotych.
Oba te zdarzenia są równoprawdopodobne, zatem przy optymalnej strategii wygrywamy średnio:
\(\displaystyle{ EX=1/2EX_1+1/2EX_2=1/2(2-c)+1/2(-c)=1-c}\) i byśmy chcieli, żeby to było większe od zera, zatem opłaca się grać gdy \(\displaystyle{ 1-c>0}\) czyli \(\displaystyle{ c<1}\).
Czy tak jest dobrze? Czy może mi ktoś powiedzieć jak lepiej opisać ten drugi podpunkt, bo tak jak napisałem to jest trochę niejasne.
Dodano po 1 dniu 13 godzinach 18 minutach 53 sekundach:
Może ktoś potwierdzić albo zaprzeczyć czy to jest dobrze?
Dodano po 1 dniu 59 minutach 39 sekundach:
Na prawdę nikt nie jest w stanie mi pomóc?
