Każdy bok i każdą przekątną
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Każdy bok i każdą przekątną
Każdy bok i każdą przekątną sześciokąta foremnego malujemy losowo na jeden z trzech kolorów. Wybór każdego koloru jest jednakowo prawdopodobny, kolorowania różnych odcinków są niezależne. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę jednobarwnych trójkątów o wierzchołkach będących wierzchołkami sześciokąta. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej \(\displaystyle{ X}\).
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Dostaję kociokwiku od tych trójkątów...
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Dostaję kociokwiku od tych trójkątów...
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Każdy bok i każdą przekątną
Wskazówka: popatrz na zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{i,j,k}}\), które sprawdzają, czy na wierzchołkach \(\displaystyle{ i,j,k}\) powstał jednobarwny trójkąt. Innymi słowy, \(\displaystyle{ X_{i,j,k} = 1}\), jeśli taki trójkąt się pojawił, i \(\displaystyle{ X_{i,j,k} = 0}\), jeśli nie.
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Każdy bok i każdą przekątną
Niestety dalej nie bardzo rozumiem. Bo te zmienne \(\displaystyle{ X_{i,j,k}}\) chyba nie będą niezależne. Nie wiem miesza mi się to jakoś. Słabo mi idą te zadania geometryczne. Proszę jeszcze o dalszą pomoc.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Każdy bok i każdą przekątną
A po co Ci niezależność tych zmiennych losowych? Liniowość wartości oczekiwanej działa bez tego i wynika z liniowości całki Lebesgue'a.
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Każdy bok i każdą przekątną
Czyli co, czyli to będzie coś takiego?:
\(\displaystyle{ EX_{i,j,k}=0 \cdot \text{coś}+1 \cdot \frac{3}{3^3}= \frac{1}{9} }\)
I dalej:
\(\displaystyle{ EX= {6 \choose 3} \cdot \frac{1}{9}= \frac{20}{9} }\)
Tak jest dobrze?
\(\displaystyle{ EX_{i,j,k}=0 \cdot \text{coś}+1 \cdot \frac{3}{3^3}= \frac{1}{9} }\)
I dalej:
\(\displaystyle{ EX= {6 \choose 3} \cdot \frac{1}{9}= \frac{20}{9} }\)
Tak jest dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Każdy bok i każdą przekątną
Tak jest.
Dodam, że ten trik z rozbiciem zmiennej losowej na takie 'zliczające' kawałki jest wart zapamiętania. Jest wiele zadań, gdzie można to wykorzystać i właśnie dzięki liniowości wartości oczekiwaniej, takie zadania stają się bardzo proste.
Dodam, że ten trik z rozbiciem zmiennej losowej na takie 'zliczające' kawałki jest wart zapamiętania. Jest wiele zadań, gdzie można to wykorzystać i właśnie dzięki liniowości wartości oczekiwaniej, takie zadania stają się bardzo proste.
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Każdy bok i każdą przekątną
To nawet janusz47 dobrze zrobił
Ale to w sumie takie nieoczywiste jest, bo to by znaczyło, że zamiast tego zadania można rozpatrywać 20 oddzielnych trójkątów jakby niezależnie i każdy z nich ma wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ 1/9}\) i zsumować, tak jakby to, że jeden trójkąt jest jakoś pokolorowany nie miało wpływu na pokolorowanie sąsiadujących trójkątów. Dziwne to trochę.
Ale to w sumie takie nieoczywiste jest, bo to by znaczyło, że zamiast tego zadania można rozpatrywać 20 oddzielnych trójkątów jakby niezależnie i każdy z nich ma wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ 1/9}\) i zsumować, tak jakby to, że jeden trójkąt jest jakoś pokolorowany nie miało wpływu na pokolorowanie sąsiadujących trójkątów. Dziwne to trochę.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Każdy bok i każdą przekątną
Zapominamy na czym polega doświadczenie losowe opisane w treści zadania.
Jest to w sumie jak najbardziej oczywiste, bo wybieramy do kolorowania niezależnie trzy trójkąty spośród sześciu na \(\displaystyle{ {6 \choose 3} }\) sposobów.
Moim zdaniem, wprowadzenie zmiennej losowej trójindeksowej \(\displaystyle{ X_{i,j,k} }\) jest w tym zadaniu niepotrzebne.
Zapis
\(\displaystyle{ EX_{i,j,k} = 0 \cdot coś + 1 \cdot \frac{3}{3^{3}} = \frac{1}{9} }\) jest nieprawidłowy przez "coś " , więc nieprzydatny.
Jest to w sumie jak najbardziej oczywiste, bo wybieramy do kolorowania niezależnie trzy trójkąty spośród sześciu na \(\displaystyle{ {6 \choose 3} }\) sposobów.
Moim zdaniem, wprowadzenie zmiennej losowej trójindeksowej \(\displaystyle{ X_{i,j,k} }\) jest w tym zadaniu niepotrzebne.
Zapis
\(\displaystyle{ EX_{i,j,k} = 0 \cdot coś + 1 \cdot \frac{3}{3^{3}} = \frac{1}{9} }\) jest nieprawidłowy przez "coś " , więc nieprzydatny.
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Każdy bok i każdą przekątną
Ale chodzi o to, że zmiana koloru jednej krawędzi, może powodować zmianę jednobarwności kilku trójkątów. I to jest trochę dziwne, że można to tak rozdzielić.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Każdy bok i każdą przekątną
Zadanie dotyczące zmiennej losowej dyskretnej o rozkładzie jednostajnym.
Wszelkie dywagacje dotyczące "kolorowania jednego trójkąta zamiast dwudziestu, czy zmiana koloru jednej krawędzi może spowodować jednobarwność kilku trójkątów " są bezpodstawne - nie mają wpływu na rozwiązanie zadania.
Wszelkie dywagacje dotyczące "kolorowania jednego trójkąta zamiast dwudziestu, czy zmiana koloru jednej krawędzi może spowodować jednobarwność kilku trójkątów " są bezpodstawne - nie mają wpływu na rozwiązanie zadania.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Każdy bok i każdą przekątną
Warto by uzasadnić ową bezpodstawność. Intuicja sugeruje silny wpływ wyboru koloru boków jednego trójkąta na pokolorowanie trójkątów dzielących wspólne krawędzie.
PS
Można wykazać oponentom (lub swojej intuicji) błędność ich (jej) poglądów przez wskazanie kontrprzykładu. Policzenie wartości oczekiwanej jednokolorowych trójkątów dla wierzchołków czworokąta nie powinno być problemem.