Wybieramy losowo zbiór

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wybieramy losowo zbiór

Post autor: max123321 »

Wybieramy losowo niepusty podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, . . . , n\right\} }\) (wybór każdego podzbioru jest tak samo prawdopodobny). Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza moc wylosowanego podzbioru.
Obliczyć \(\displaystyle{ EX}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
\(\displaystyle{ EX=1 \cdot \frac{n}{2^n-1}+2 \cdot \frac{ {n \choose 2} }{2^n-1}+3 \cdot \frac{ {n \choose 3} }{2^n-1}+...+ }\)
\(\displaystyle{ +(n-1) \cdot \frac{ {n \choose n-1} }{2^n-1}+n \cdot \frac{ {n \choose n} }{2^n-1}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{n(1+n-1+ \frac{(n-1)(n-2)}{2}+ \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}+...+\frac{(n-1)(n-2)}{2}+n-1+1) }{2^n-1}= }\)
\(\displaystyle{ = \frac{n \sum_{k=0}^{n-1} {n-1 \choose k} }{2^n-1}= \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n-1} }\)

Czy tak jest dobrze? Może ktoś potwierdzić, albo zaprzeczyć?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wybieramy losowo zbiór

Post autor: Premislav »

Jest w porządku.
ODPOWIEDZ