Wybieramy losowo niepusty podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, . . . , n\right\} }\) (wybór każdego podzbioru jest tak samo prawdopodobny). Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza moc wylosowanego podzbioru.
Obliczyć \(\displaystyle{ EX}\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
\(\displaystyle{ EX=1 \cdot \frac{n}{2^n-1}+2 \cdot \frac{ {n \choose 2} }{2^n-1}+3 \cdot \frac{ {n \choose 3} }{2^n-1}+...+ }\)
\(\displaystyle{ +(n-1) \cdot \frac{ {n \choose n-1} }{2^n-1}+n \cdot \frac{ {n \choose n} }{2^n-1}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{n(1+n-1+ \frac{(n-1)(n-2)}{2}+ \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}+...+\frac{(n-1)(n-2)}{2}+n-1+1) }{2^n-1}= }\)
\(\displaystyle{ = \frac{n \sum_{k=0}^{n-1} {n-1 \choose k} }{2^n-1}= \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n-1} }\)
Czy tak jest dobrze? Może ktoś potwierdzić, albo zaprzeczyć?