Pięć kartek ponumerowanych liczbami od 1 do 5 rozdano pięciu graczom A, B, C, D
oraz E, po jednej kartce każdemu. Następnie, gracz A porównuje numer swojej kartki
z odpowiednim numerem gracza B; jeśli numer A jest większy, wygrywa gracz A i w
następnej rundzie porównuje swój numer z numerem gracza C. Jeśli numer gracza A
jest większy, zostaje on zwycięzcą drugiej rundy i w następnej grze porównuje numery
z graczem D. Końcowa runda (jeśli do niej dojdzie) polega na porównaniu numerów
z graczem E. Niech X oznacza liczbę zwycięstw gracza A. Obliczyć rozkład zmiennej
X oraz jej średnią.
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Z tego co rozumiem z treści zadania, to chyba jak gracz A przegra którąś rundę to jest koniec i nie może już wygrać żadnej następnej rundy?
No więc przy tym założeniu to tak:
\(\displaystyle{ P(X=0)}\)-A może mieć numer 1 wtedy przegra wszystko, to się dzieje z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1/5}\). Jeśli ma numer 2 to gracz B musi mieć 3 lub 4 lub 5, pozostali gracze dowolnie, to jest z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 3/20}\). Jeśli A ma numer 3 to gracz B musi mieć 4 lub 5 reszta dowolnie, to prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 2/20}\). Jeśli A ma numer 4 to B musi mieć 5 reszta dowolnie, prawdopodobieństwo tego to \(\displaystyle{ 1/20}\). A nie może mieć numeru 5 bo wówczas wygrałby wszystko. Po zsumowaniu otrzymałem, że
\(\displaystyle{ P(X=0)=1/2}\)
Teraz \(\displaystyle{ P(X=1)}\)-A nie może mieć jedynki bo przegrałby od razu. Jeśli A ma 2 to B musi mieć 1 reszta dowolnie, to prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 1/20}\).Jeśli A ma 3 to B ma 2 lub 1, a C ma 4 lub 5 reszta dowolnie, prawdopodobieństwo tego to \(\displaystyle{ 1/15}\). Jeśli A ma 4 to B ma 1 lub 2 lub 3, C ma 5 reszta dowolnie, prawdopodobieństwo tego to \(\displaystyle{ 1/20}\). A nie może mieć 5 bo wygrałby wszystko. Zatem \(\displaystyle{ P(X=1)=1/6}\).
Dalej \(\displaystyle{ P(X=2)}\)-A nie może mieć 1 ani 2. Jeśli A ma 3 to B ma 1 lub 2, C ma 2 lub 1, D ma 4 lub 5 E ma 5 lub 4 odpowiednio, prawdopodobieństwo tego to \(\displaystyle{ 1/30}\). Jeśli A ma 4 to B ma 1 lub 2 lub 3, C ma 1 lub 2 lub 3 odpowiednio, D ma 5, E to co zostanie, prawdopodobieństwo tego to \(\displaystyle{ 1/20}\). A nie może mieć 5. Zatem \(\displaystyle{ P(X=2)=1/12}\).
Następnie \(\displaystyle{ P(X=3)}\)-A musi mieć 4, B może mieć 1 lub 2 lub 3, C ma 1 lub 2 lub 3 i D ma 1 lub 2 lub 3 odpowiednio, E to co zostanie, prawdopodobieństwo tego, to \(\displaystyle{ 1/20}\). Więc:
\(\displaystyle{ P(X=3)=1/20}\).
Zostaje \(\displaystyle{ P(X=4)}\)-A musi mieć 5, reszta dowolnie. Toteż:
\(\displaystyle{ P(X=4)=1/5}\).
Wartość oczekiwana: \(\displaystyle{ EX=0*1/2+1*1/6+2*1/12+3*1/20+4*1/5= \frac{77}{60} \approx 1,28 }\)
Czy tak jest dobrze? Może się ktoś wypowiedzieć?
