Dane są liczby całkowite

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2733
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 812 razy

Dane są liczby całkowite

Post autor: max123321 » 9 maja 2021, o 17:05

Dane są liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ m,n}\) oraz liczb \(\displaystyle{ p,q \in (0,1)}\) spełniające warunek \(\displaystyle{ p+q=1}\). Dowieść (używając metod probabilistycznych), że \(\displaystyle{ (1-p^n)^m+(1-p^m)^n \ge 1}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1532
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 457 razy

Re: Dane są liczby całkowite

Post autor: Tmkk » 9 maja 2021, o 17:15

Wskazówka: rozpatrz macierz \(\displaystyle{ n \times m}\), o wyrazach w \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\} }\), gdzie zero kładziemy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\), a jedynkę z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-p}\), niezależnie. Pomysł, jakie zdarzenia sobie wprowadzić, aby otrzymać lewą stronę nierówności.

Dodano po 5 godzinach 17 minutach 41 sekundach:
PS tam w tej nierówności, zamiast jednego z \(\displaystyle{ p}\), powinno być \(\displaystyle{ q}\), prawda? Bo inaczej to nieprawda.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2733
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 812 razy

Re: Dane są liczby całkowite

Post autor: max123321 » 9 maja 2021, o 22:42

Tak, tak masz rację tam powinno być \(\displaystyle{ q}\). Mój błąd.

Dodano po 1 godzinie 44 minutach 25 sekundach:
Ok, to mi trochę rozjaśniłeś, dzięki. Idąc tym tropem wpadłem na takie rozwiązanie:

A- zdarzenie, że istnieje kolumna w której są same zera
B-zdarzenie, że istnieje wiersz w którym są same jedynki
A'-zdarzenie przeciwne do A czyli w każdej kolumnie jest co najmniej jedna jedynka
B'-zdarzenie przeciwne do B czyli w każdym wierszu jest co najmniej jedno zero

Oczywiście zdarzenia A i B się wykluczają, bo na przecięciu kolumny w której są same zera i wiersza w którym są same jedynki musiałoby być jednocześnie zero i jeden, a to jest niemożliwe. Zatem:
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=0}\)
Dalej wiadomo, że:
\(\displaystyle{ 1 \ge P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A)+P(B)=1-P(A')+1-P(B')}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P(A')+P(B') \ge 1}\)
\(\displaystyle{ P(A')}\) to jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że w każdej kolumnie jest co najmniej jedna jedynka, a to można policzyć przez zdarzenie przeciwne, mianowicie to oznaczy od prawdopodobieństwa zdarzenia pewnego odjąć prawdopodobieństwo, że w danej kolumnie są same zera i przemnożyć przez siebie tyle razy ile jest kolumn, bo ma być tak w każdej kolumnie.
Zatem \(\displaystyle{ P(A')=(1-p^n)^m}\), analogicznie \(\displaystyle{ P(B')=(1-q^m)^n}\), zatem
\(\displaystyle{ (1-p^n)^m+(1-q^m)^n \ge 1}\), co trzeba było wykazać.

Czy tak jest dobrze?

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1532
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 457 razy

Re: Dane są liczby całkowite

Post autor: Tmkk » 10 maja 2021, o 11:55

Tak, właśnie o to chodziło.

ODPOWIEDZ