Niech \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ 0,1\right\}^n }\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \PP}\) odpowiadającym schematowi Bernoulliego (sukces to \(\displaystyle{ 1}\)) z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ 0 \le k \le n}\), niech \(\displaystyle{ A_k}\) oznacza zdarzenie, iż jest dokładnie \(\displaystyle{ k}\) sukcesów. Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subset \Omega}\) oraz każdego \(\displaystyle{ k}\), prawdopodobieństwo warunkowe \(\displaystyle{ P(B|A_k)}\) nie zależy od \(\displaystyle{ p}\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ s}\) liczbę sukcesów w ciągu \(\displaystyle{ B}\), to \(\displaystyle{ P(B|A_k)=\frac{P(B \cap A_k)}{P(A_k) }= \begin{cases} 0 \text{ dla } s \neq k \\ \frac{P(B)}{P(A_K)} \text{ dla } s=k \end{cases} }\)
natomiast \(\displaystyle{ P(B)=p^s(1-p)^{n-s}}\) i \(\displaystyle{ P(A_k)= {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}}\), czyli:
\(\displaystyle{ P(B|A_k)=\frac{P(B \cap A_k)}{P(A_k)}= \begin{cases} 0 \text{ dla } s \neq k \\ \frac{1}{ {n \choose k} } \text{ dla } s=k \end{cases} }\)
czyli faktycznie to prawdopodobieństwo warunkowe nie zależy od \(\displaystyle{ p}\).
Czy tak jest dobrze? Może się ktoś wypowiedzieć?
Schemat Bernoulliego
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Schemat Bernoulliego
Dobra jest idea, ale póki co rozwiązanie nie ma sensu, bo \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem a nie pojedynczym ciągiem. Twoje obliczenia można potraktować jako analizę przypadku kiedy \(\displaystyle{ B = \{ b \}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b \in \Omega}\). W ogólnym przypadku, czyli gdy \(\displaystyle{ B = \{ b_1, \ldots, b_m \} \subseteq \Omega}\), mamy zaś
\(\displaystyle{ P(B|A_k) = \sum_{i=1}^m P( \{b_i\} | A_k)}\)
i ta liczba nie zależy od \(\displaystyle{ p}\) na mocy przypadku szczególnego.
\(\displaystyle{ P(B|A_k) = \sum_{i=1}^m P( \{b_i\} | A_k)}\)
i ta liczba nie zależy od \(\displaystyle{ p}\) na mocy przypadku szczególnego.
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Schemat Bernoulliego
Aha ok, no faktycznie \(\displaystyle{ B}\) to zbiór ciągów, a nie pojedynczy ciąg.
No ok, ale jak to jakoś ładnie zapisać? Można tak? :
\(\displaystyle{ P(B|A_k) = \sum_{i=1}^m P( \{b_i\} | A_k)=\sum_{i=1}^m \frac{P( \{b_i\} \cap A_k)}{P(A_k)} =}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ s_i}\)-liczba sukcesów w \(\displaystyle{ i}\)-tym ciągu \(\displaystyle{ b_i}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{i=1}^{m} \begin{cases} 0 \text{ dla } s_i \neq k \\ \frac{P(\left\{ b_i\right\}) }{P(A_k)} \text{ dla } s_i=k \end{cases} = }\)
\(\displaystyle{ =\sum_{i=1}^{m} \begin{cases} 0 \text{ dla } s_i \neq k \\ \frac{1}{ {n \choose k} } \text{ dla } s_i=k \end{cases} }\)
i to nie zależy od \(\displaystyle{ p}\). Może być taki zapis?
No ok, ale jak to jakoś ładnie zapisać? Można tak? :
\(\displaystyle{ P(B|A_k) = \sum_{i=1}^m P( \{b_i\} | A_k)=\sum_{i=1}^m \frac{P( \{b_i\} \cap A_k)}{P(A_k)} =}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ s_i}\)-liczba sukcesów w \(\displaystyle{ i}\)-tym ciągu \(\displaystyle{ b_i}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{i=1}^{m} \begin{cases} 0 \text{ dla } s_i \neq k \\ \frac{P(\left\{ b_i\right\}) }{P(A_k)} \text{ dla } s_i=k \end{cases} = }\)
\(\displaystyle{ =\sum_{i=1}^{m} \begin{cases} 0 \text{ dla } s_i \neq k \\ \frac{1}{ {n \choose k} } \text{ dla } s_i=k \end{cases} }\)
i to nie zależy od \(\displaystyle{ p}\). Może być taki zapis?