Schemat Bernoulliego

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Schemat Bernoulliego

Post autor: max123321 »

Niech \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ 0,1\right\}^n }\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \PP}\) odpowiadającym schematowi Bernoulliego (sukces to \(\displaystyle{ 1}\)) z prawdopodobieństwem sukcesu \(\displaystyle{ p}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ 0 \le k \le n}\), niech \(\displaystyle{ A_k}\) oznacza zdarzenie, iż jest dokładnie \(\displaystyle{ k}\) sukcesów. Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subset \Omega}\) oraz każdego \(\displaystyle{ k}\), prawdopodobieństwo warunkowe \(\displaystyle{ P(B|A_k)}\) nie zależy od \(\displaystyle{ p}\).


Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ s}\) liczbę sukcesów w ciągu \(\displaystyle{ B}\), to \(\displaystyle{ P(B|A_k)=\frac{P(B \cap A_k)}{P(A_k) }= \begin{cases} 0 \text{ dla } s \neq k \\ \frac{P(B)}{P(A_K)} \text{ dla } s=k \end{cases} }\)
natomiast \(\displaystyle{ P(B)=p^s(1-p)^{n-s}}\) i \(\displaystyle{ P(A_k)= {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}}\), czyli:
\(\displaystyle{ P(B|A_k)=\frac{P(B \cap A_k)}{P(A_k)}= \begin{cases} 0 \text{ dla } s \neq k \\ \frac{1}{ {n \choose k} } \text{ dla } s=k \end{cases} }\)
czyli faktycznie to prawdopodobieństwo warunkowe nie zależy od \(\displaystyle{ p}\).

Czy tak jest dobrze? Może się ktoś wypowiedzieć?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Schemat Bernoulliego

Post autor: Tmkk »

Jest dobrze.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Schemat Bernoulliego

Post autor: Dasio11 »

Dobra jest idea, ale póki co rozwiązanie nie ma sensu, bo \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem a nie pojedynczym ciągiem. Twoje obliczenia można potraktować jako analizę przypadku kiedy \(\displaystyle{ B = \{ b \}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b \in \Omega}\). W ogólnym przypadku, czyli gdy \(\displaystyle{ B = \{ b_1, \ldots, b_m \} \subseteq \Omega}\), mamy zaś

\(\displaystyle{ P(B|A_k) = \sum_{i=1}^m P( \{b_i\} | A_k)}\)

i ta liczba nie zależy od \(\displaystyle{ p}\) na mocy przypadku szczególnego.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Schemat Bernoulliego

Post autor: Tmkk »

Racja, @Dasio11, dzięki za czujność.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Schemat Bernoulliego

Post autor: max123321 »

Aha ok, no faktycznie \(\displaystyle{ B}\) to zbiór ciągów, a nie pojedynczy ciąg.

No ok, ale jak to jakoś ładnie zapisać? Można tak? :

\(\displaystyle{ P(B|A_k) = \sum_{i=1}^m P( \{b_i\} | A_k)=\sum_{i=1}^m \frac{P( \{b_i\} \cap A_k)}{P(A_k)} =}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ s_i}\)-liczba sukcesów w \(\displaystyle{ i}\)-tym ciągu \(\displaystyle{ b_i}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{i=1}^{m} \begin{cases} 0 \text{ dla } s_i \neq k \\ \frac{P(\left\{ b_i\right\}) }{P(A_k)} \text{ dla } s_i=k \end{cases} = }\)
\(\displaystyle{ =\sum_{i=1}^{m} \begin{cases} 0 \text{ dla } s_i \neq k \\ \frac{1}{ {n \choose k} } \text{ dla } s_i=k \end{cases} }\)

i to nie zależy od \(\displaystyle{ p}\). Może być taki zapis?
ODPOWIEDZ