Matematyka.pl

Baza samochodowa pewnego przedsiębiorstwa obsługuje \(\displaystyle{ 7}\) zakładów. W każdej godzinie każdy zakład potrzebuje samochodu z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1/2}\), niezależnie od innych zakładów. Ile powinno być samochodów w bazie, aby z prawdopodobieństwem większym niż \(\displaystyle{ 0,8}\) żaden zakład nie musiał czekać?

Nie rozumiem o co chodzi w tym zadaniu. Może mi ktoś pomóc i wytłumaczyć o co tu chodzi i jak to zrobić?

Nie jestem pewny jak interpretować to "w każdej godzinie". Nie ma informacji przez ile czasu trwa ten proces i jeśli dany zakład pożyczy samochód, to kiedy go oddaje?

Gdyby jednak pominąć tę informację i założyć, że jest to jednorazowa sytuacja, to mamy zmienną losową \(\displaystyle{ X \sim Bern\left(7, \frac{1}{2}\right)}\). Zlicza ona, ile samochodów jest potrzebnych, i szukamy liczby samochodów \(\displaystyle{ k}\) takiej, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \le k) > 0.8}\).

No właśnie, tę samą zagwozdkę miałem z tymi godzinami.

Ale dobra zakładając, że jest tak jak piszesz dalej to tak:
\(\displaystyle{ P(X=0)= {7 \choose 0}( \frac{1}{2} )^7= \frac{1}{128} }\)
\(\displaystyle{ P(X=1)= {7 \choose 1}( \frac{1}{2} )^7= \frac{7}{128} }\)
\(\displaystyle{ P(X=2)= {7 \choose 2}( \frac{1}{2} )^7= \frac{21}{128} }\)
\(\displaystyle{ P(X=3)= {7 \choose 3}( \frac{1}{2} )^7= \frac{35}{128} }\)
\(\displaystyle{ P(X=4)= {7 \choose 4}( \frac{1}{2} )^7= \frac{35}{128} }\)
\(\displaystyle{ P(X=5)= {7 \choose 5}( \frac{1}{2} )^7= \frac{21}{128} }\)

i wnioski: \(\displaystyle{ P(X \le 4)= \frac{99}{128}<0,8 }\) i dalej
\(\displaystyle{ P(X \le 5)= \frac{120}{128}>0,8 }\)

Czyli ostatecznie ta baza powinna mieć co najmniej 5 samochodów. Zgadza się?

Jeśli o to chodzi w tym zadaniu, to na to by wychodziło.