Proporcja chłopców i dziewczynek.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
xdominika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 23 razy

Proporcja chłopców i dziewczynek.

Post autor: xdominika » 2 maja 2021, o 12:32

W każdym roku rodzi się 50% chłopców. Rząd, aby ograniczyć przyrost naturalny zakazał posiadania kolejnych dzieci po urodzeniu pierwszego chłopca. Jaka jest docelowa proporcja chłopców do dziewczynek?

Czy ktoś mógłby dać mi jakieś wskazówki co do tego zadania? Na początku myślałam, że udział chłopców będzie 75%, potem, że nadal 50%, ale wydaje mi się, że odpowiedź będzie jeszcze inna.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18823
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3751 razy

Re: Proporcja chłopców i dziewczynek.

Post autor: szw1710 » 2 maja 2021, o 16:48

Mamy ciąg proporcji chłopców dany rekurencyjnie. \(p_1=0.5\) oraz \(p_{n+1}=0.5(1-p_n).\) Bo przecież w kolejnym roku chłopcy mogą się urodzić tylko w tych rodzinach, w których poprzednio urodziły się dziewczynki, zaś proporcja dziewczynek to przecież \(1-p_n\).

Wyznacz jawnie wyraz ogólny tego ciągu i policz jego granicę. Wiedząc już, że ciąg jest zbieżny, niech zmierza do \(p\). Mamy więc z poprzedniego równania \(p=0.5(1-p)\), skąd \(p=\frac{1}{3}.\)

Wskazówka do odgadnięcia wyrazu ogólnego: rozważ ciąg \(q_n-\frac{1}{3}-p_n,\) który jest geometryczny (wykaż to i znajdź jego wyraz ogólny). Tak więc teraz łatwo znajdziesz odpowiednią granicę. :)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9529
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2119 razy

Re: Proporcja chłopców i dziewczynek.

Post autor: Dasio11 » 2 maja 2021, o 17:35

Nie ma żadnego powodu dla którego rozporządzenie miałoby zmienić proporcję płci w społeczeństwie, bo w rodzinach nieobjętych zakazem szansa na urodzenie chłopca nadal będzie wynosić 50%.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18823
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3751 razy

Re: Proporcja chłopców i dziewczynek.

Post autor: szw1710 » 2 maja 2021, o 20:09

Dasio11 pisze:
2 maja 2021, o 17:35
Nie ma żadnego powodu dla którego rozporządzenie miałoby zmienić proporcję płci w społeczeństwie, bo w rodzinach nieobjętych zakazem szansa na urodzenie chłopca nadal będzie wynosić 50%.
Temat zadania jest niefortunny. Tę samą treść z rekurencją można by ubrać w inne słowa, nie o zakazie rodzenia dalszych dzieci, jeśli urodził się chłopiec. To pachnie chińskim totalitaryzmem. Jednak to argumenty pozamatematyczne. Więc może pozostańmy przy tej rekurencji i jej ciekawej matematyce.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9529
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2119 razy

Re: Proporcja chłopców i dziewczynek.

Post autor: Dasio11 » 2 maja 2021, o 22:50

Mam wrażenie że nie zrozumiałeś sensu mojej wypowiedzi, więc napiszę inaczej: tego zadania nie rozwiązuje się rekurencją, tylko przez zauważenie, że jakikolwiek zakaz rodzenia nie może zmienić proporcji płci wśród dzieci którym wolno się urodzić. W szczególności opisana przez Ciebie rekurencja nie ma związku z zadaniem.

xdominika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 14 lis 2019, o 22:59
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 23 razy

Re: Proporcja chłopców i dziewczynek.

Post autor: xdominika » 7 maja 2021, o 12:12

Dasio11 pisze:
2 maja 2021, o 22:50
Mam wrażenie że nie zrozumiałeś sensu mojej wypowiedzi, więc napiszę inaczej: tego zadania nie rozwiązuje się rekurencją, tylko przez zauważenie, że jakikolwiek zakaz rodzenia nie może zmienić proporcji płci wśród dzieci którym wolno się urodzić. W szczególności opisana przez Ciebie rekurencja nie ma związku z zadaniem.
Przepraszam, ale dla pewności wolę dopytać, czyli załóżmy za kilkanaście lat powinno być tyle samo osób płci męskiej, co żeńskiej?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9529
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2119 razy

Re: Proporcja chłopców i dziewczynek.

Post autor: Dasio11 » 7 maja 2021, o 14:29

Tak.

ODPOWIEDZ