Abacki i Babacki raz na tydzień grają w tenisa. Abacki wygrywa z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\). Właściciel kortów ufundował puchar - dostanie go ten tenisista,
który po raz pierwszy będzie miał o dwie wygrane więcej niż drugi z graczy.
i) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygra Abacki?
ii) Jak się zmieni odpowiedź, gdy do zdobycia pucharu potrzeba będzie przewaga \(\displaystyle{ 3}\)
wygranych? W którym wariancie szanse na wygraną Abackiego będą większe?
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Możemy to interpretować jako błądzenie losowe po prostej od punktu \(\displaystyle{ 0}\) (przegrana Abackiego) do punktu \(\displaystyle{ 4}\) (wygrana Abackiego) startując z punktu \(\displaystyle{ 2}\).Jeśli \(\displaystyle{ p_n}\) to prawdopodobieństwo wygranej Abackiego w momencie \(\displaystyle{ n}\), to możemy napisać: \(\displaystyle{ p_n=pp_{n+1}+(1-p)p_{n-1}}\), przy czym \(\displaystyle{ p_0=0}\) i \(\displaystyle{ p_{4}=1}\). No to tu nie widzę, żadnego mądrego rozwiązania jak tylko po kolei policzyć prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p_i}\) w ten sposób:
\(\displaystyle{ p_1=pp_2}\), z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ p_2}\) i podstawić do wzoru na \(\displaystyle{ p_2}\) i przekształcić i otrzymać \(\displaystyle{ p_3}\) i tak dalej otrzymując równanie z którego można wyliczyć \(\displaystyle{ p_1}\). Interesuje nas \(\displaystyle{ p_2}\). Po podstawieniu otrzymałem \(\displaystyle{ p_2= \frac{p^2}{1-2p+2p^2} }\).
W drugim podpunkcie liczyłem to dalej po kolei, ale wychodziły bardzo ciężkie rachunki. Interesuje nas tutaj \(\displaystyle{ p_3}\), które wyszło mi \(\displaystyle{ p_3= \frac{p^3(1-p+p^2)}{1-4p+7p^2-6p^3+3p^4} }\). I dalej licząc wyszło mi, że jeśli \(\displaystyle{ p>1/2}\), to dla Abackiego bardziej opłaca się drugi wariant, a gdy \(\displaystyle{ p<1/2}\) to pierwszy, natomiast dla \(\displaystyle{ p=1/2}\) to oba warianty są jednakowo opłacalne dla Abackiego.
Czy tak jest dobrze? Czy można jakoś usprawnić liczenie tych prawdopodobieństw w obu wariantach? Ten ciąg \(\displaystyle{ p_n}\), nie jest chyba ani arytmetyczny ani geometryczny stąd nie wiem zbytnio jak to uprościć. Proszę o jakąś pomoc.
Abacki i Babacki raz jeszcze
-
Tmkk
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Abacki i Babacki raz jeszcze
Wszystko się zgadza. Mianownik w \(\displaystyle{ p_3}\) się rozkłada: \(\displaystyle{ 1-4p+7p^2-6p^3+3p^4 = (p^2-p+1)(3p^2-3p+1)}\), więc ostatecznie wyjdzie \(\displaystyle{ p_3 = \frac{p^3}{3p^2-3p+1}}\).
Jeśli chodzi o sposób, można to policzyć ogólniej. Rzeczywiście, ciąg \(\displaystyle{ p_n}\) nie jest geometryczny, ale ciąg \(\displaystyle{ p_{n+1}-p_n}\) już jest. Idea jest dokładnie taka sama, jak w poprzednim zadaniu, które wrzucałeś, ale teraz moneta nie jest symetryczna - z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) mamy reszkę, z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-p}\) mamy orła. Poniższe obliczenia są własnie dla \(\displaystyle{ p \neq \frac{1}{2}}\).
Tak jak słusznie stwierdziłeś, zachodzi \(\displaystyle{ p_{n} = pp_{n+1}+(1-p)p_{n-1}}\), \(\displaystyle{ p_0 = 0}\), \(\displaystyle{ p_N = 1}\), u Ciebie \(\displaystyle{ N = 4}\) w podpunkcie \(\displaystyle{ a)}\) oraz \(\displaystyle{ N=6}\) w podpunkcie \(\displaystyle{ b)}\). Zauważ, że mozna tę równość zapisać w takiej postaci:
\(\displaystyle{ p_{n+1}-p_n = \frac{1-p}{p}(p_{n} - p_{n-1})}\). Oznaczamy sobie \(\displaystyle{ q_n = p_{n+1}-p_n}\) i mamy \(\displaystyle{ \frac{q_{n}}{q_{n-1}} = \frac{1-p}{p}}\), czyli jest to ciąg geometryczny: \(\displaystyle{ q_n = q_0 \cdot \left(\frac{1-p}{p}\right)^{n}}\). Dalej, mamy
\(\displaystyle{ 1 = p_N - p_0 = \sum_{k=0}^{N-1} (p_{k+1}-p_k) = \sum_{k=0}^{N-1} q_k = q_0 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1-p}{p}\right)^N}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)}}\), odwracając, ostatecznie
\(\displaystyle{ q_n = \frac{1 - \left(\frac{1-p}{p}\right)}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N} \cdot \left(\frac{1-p}{p}\right)^{n}}\).
No i fajnie. Jeśli chcesz np policzyć sobie to zadanie dla podpunktu \(\displaystyle{ b)}\), to wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ p_3 = q_2 + q_1 + q_0 = q_0\left(1 + \frac{1-p}{p} + \left(\frac{1-p}{p}\right)^2\right) = \frac{1 - \left(\frac{1-p}{p}\right)}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^6} \cdot \frac{p^2-p+1}{p^2} = \ldots = \frac{p^3}{3p^2-3p+1}}\).
Jeśli chodzi o sposób, można to policzyć ogólniej. Rzeczywiście, ciąg \(\displaystyle{ p_n}\) nie jest geometryczny, ale ciąg \(\displaystyle{ p_{n+1}-p_n}\) już jest. Idea jest dokładnie taka sama, jak w poprzednim zadaniu, które wrzucałeś, ale teraz moneta nie jest symetryczna - z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) mamy reszkę, z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-p}\) mamy orła. Poniższe obliczenia są własnie dla \(\displaystyle{ p \neq \frac{1}{2}}\).
Tak jak słusznie stwierdziłeś, zachodzi \(\displaystyle{ p_{n} = pp_{n+1}+(1-p)p_{n-1}}\), \(\displaystyle{ p_0 = 0}\), \(\displaystyle{ p_N = 1}\), u Ciebie \(\displaystyle{ N = 4}\) w podpunkcie \(\displaystyle{ a)}\) oraz \(\displaystyle{ N=6}\) w podpunkcie \(\displaystyle{ b)}\). Zauważ, że mozna tę równość zapisać w takiej postaci:
\(\displaystyle{ p_{n+1}-p_n = \frac{1-p}{p}(p_{n} - p_{n-1})}\). Oznaczamy sobie \(\displaystyle{ q_n = p_{n+1}-p_n}\) i mamy \(\displaystyle{ \frac{q_{n}}{q_{n-1}} = \frac{1-p}{p}}\), czyli jest to ciąg geometryczny: \(\displaystyle{ q_n = q_0 \cdot \left(\frac{1-p}{p}\right)^{n}}\). Dalej, mamy
\(\displaystyle{ 1 = p_N - p_0 = \sum_{k=0}^{N-1} (p_{k+1}-p_k) = \sum_{k=0}^{N-1} q_k = q_0 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1-p}{p}\right)^N}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)}}\), odwracając, ostatecznie
\(\displaystyle{ q_n = \frac{1 - \left(\frac{1-p}{p}\right)}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N} \cdot \left(\frac{1-p}{p}\right)^{n}}\).
No i fajnie. Jeśli chcesz np policzyć sobie to zadanie dla podpunktu \(\displaystyle{ b)}\), to wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ p_3 = q_2 + q_1 + q_0 = q_0\left(1 + \frac{1-p}{p} + \left(\frac{1-p}{p}\right)^2\right) = \frac{1 - \left(\frac{1-p}{p}\right)}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^6} \cdot \frac{p^2-p+1}{p^2} = \ldots = \frac{p^3}{3p^2-3p+1}}\).
. Teraz już chyba zrozumiałem jak to najlepiej liczyć.