Własności prawdopodobieństwa zadanie na dowód

[aneta909811]

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ A \cup B \cup C=\Omega, P\left( B\right)=2P\left( A\right), P\left( C\right) =3P\left( A\right), P\left( A \cap B\right) = P\left( B \cap C\right) }\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \le P\left( A\right) \le \frac{1}4{} }\).

[Premislav]

Stare zadanie, na pewno ktoś już je kiedyś wrzucał…
\(\displaystyle{ 1=\mathbf{P}(\Omega)=\mathbf{P}(A\cup B\cup C)\\ \le \mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B)+\mathbf{P}(C)=6\mathbf{P}(A)}\),
stąd \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A)\ge \frac{1}{6}}\).
W przejściu z nierównością zastosowałem nierówność Boole'a, którą łatwo wykazać indukcyjnie (prawodpodobieństwo sumy zdarzeń nie przekracza sumy prawdopodobieństw).

Druga nierówność jest troszeczkę ciekawsza.
\(\displaystyle{ 4\mathbf{P}(A)=\mathbf{P}(B)+\mathbf{P}(C)-\mathbf{P}(A)\\=\mathbf{P}(B)+\mathbf{P}(C)-\mathbf{P}(A\cap B)-\mathbf{P}(A\setminus B)\\\le \mathbf{P}(B)+\mathbf{P}(C)-\mathbf{P}(A\cap B)\\=\mathbf{P}(B)+\mathbf{P}(C)-\mathbf{P}(B\cap C)\\=\mathbf{P}(B\cup C)\le \mathbf{P}(A\cup B\cup C)=1}\)