Abacki i Babacki

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Abacki i Babacki

Post autor: max123321 »

Abacki i Babacki grają w orła i reszkę symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, to Abacki płaci Babackiemu złotówkę, a jeśli reszka to Babacki daje złotówkę Abackiemu. Gra się kończy, gdy jeden z graczy zostaje bez pieniędzy. Na początku gry Abacki ma 6 złotych, Babacki 10 złotych.

1) Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania całej gry przez Abackiego?
2) Wiemy, że wygrał Abacki. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie wypadł orzeł?
3) Czy odpowiedź się zmieni, jeśli stawka w pojedynczym rzucie wzrośnie do 2 złotych?

Weźmy na razie pytanie 1). Jak to policzyć? Jak w ogóle powinno się podchodzić do takiego błądzenia po prostej? Proszę o jakieś wytłumaczenie tego.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Abacki i Babacki

Post autor: Tmkk »

Polecam sobie najpierw narysować sytuację. Ja np. zrobiłem to tak, że opisałem grę ze strony Abackiego. Na osi zaznaczyłem sobie liczby \(\displaystyle{ n \in \lbrace 0,1,2,\ldots 16 \rbrace}\) i kropkę na \(\displaystyle{ 6}\) - to jest stan początkowy, bo tyle Abacki ma na początku pieniędzy. Jeśli wypadnie orzeł to idziemy w lewo, jeśli reszka - w prawo. Gra kończy się, kiedy staniemy w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) - wtedy Abacki zbankrutował, lub w punkcie \(\displaystyle{ 16}\) - wtedy Abacki wygrał wszystko, co miał Babacki.

Druga sprawa, to odpowiednie oznaczenie. Interesuje nas prawdopodobieństwo wygranej Abackiego, ale jak nietrudno się domyślić, będzie ono zależeć od tego, w którym momencie gry jesteśmy. Jeśli w danym momencie Abacki ma \(\displaystyle{ 15}\) zł, to intuicyjnie ma znacznie większą szansę na całkowite ogranie Babackiego, niż jak ma \(\displaystyle{ 2zł}\). Oznaczamy więc \(\displaystyle{ p_n}\) - prawdodpodobieństwo wygranej Abackiego, jeśli jesteśmy w stanie \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ n \in \lbrace 0,1,2,\ldots 16 \rbrace}\).

Trzecia rzecz, to poszukanie odpowiednich zależności pomiędzy poszczególnymi stanami. Tu sprawa jest w miarę prosta - jeśli jesteśmy w stanie \(\displaystyle{ n}\) to albo wypadnie orzeł i idziemy w lewo do \(\displaystyle{ n-1}\), albo wypadnie reszka i idziemy w prawo do \(\displaystyle{ n+1}\). Czyli \(\displaystyle{ p_n = \frac{1}{2}p_{n-1} + \frac{1}{2}p_{n+1}}\), bo moneta jest symetryczna. Dodatkowo, \(\displaystyle{ p_0 = 0}\) i \(\displaystyle{ p_{16}= 1}\).

Pozostało z tych danych wyznaczyć \(\displaystyle{ p_n}\), a następnie odpowiedzieć na pytanie z zadania, czyli prawdopodobieństwo wygranej Abackiego kiedy gra się dopiero zaczyna, czyli \(\displaystyle{ p_6}\). Jeśli miałbyś problem z wyznaczeniem \(\displaystyle{ p_n}\) to poniżej są wskazówki:
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Abacki i Babacki

Post autor: max123321 »

Ok, a możesz mi jeszcze wytłumaczyć dokładniej skąd jest to \(\displaystyle{ p_n = \frac{1}{2}p_{n-1} + \frac{1}{2}p_{n+1}}\), bo to mi się wydaje jakieś dziwne.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Abacki i Babacki

Post autor: Tmkk »

Wynika to z prawdopodobieństwa całkowitego i rzadko kiedy to się aż tak dokładnie rozpisuje (bo intuicyjnie jest to w miarę jasne), ale byłoby to mniej więcej coś takiego:

Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ W}\) - wygrana Abackiego, \(\displaystyle{ O}\) - wypadł orzedł, \(\displaystyle{ R}\) - wypadła reszka, \(\displaystyle{ X = n}\) - jesteśmy w stanie \(\displaystyle{ n}\) (tzn Abacki ma \(\displaystyle{ n}\) zł). Te \(\displaystyle{ p_n}\), które definiowałem wcześniej, to nic innego jak \(\displaystyle{ p_n = \mathbb{P}(W \vert X = n)}\). Formalnie, ten \(\displaystyle{ X}\) powinien być ciągiem, którego indeksy mowią, w której turze gry jesteśmy. Ale to nie ma na nic wpływu, więc nie będę tego pisał. Z prawdopodobieństwa całkowitego:

\(\displaystyle{ p_{n} = \mathbb{P}(W \vert X = n) = \mathbb{P}(W \cap O \vert X = n) + \mathbb{P}(W \cap R \vert X = n) = \mathbb{P}(O \vert X = n)\mathbb{P}(W \vert O \cap X = n) +\mathbb{P}(R \vert X = n)\mathbb{P}(W \vert R \cap X = n)}\).

Sprawdz sobie, że ta trzecia równość zachodzi, rozpisując prawdopodobieństwo warunkowe. Dalej, wyrzucenie orła / reszki nie zależy od stanu gry, w którym jesteśmy, więc \(\displaystyle{ \mathbb{P}(O \vert X = n) = \mathbb{P}(R \vert X = n) = \frac{1}{2}}\). Dodatkowo, popatrz na ten warunek \(\displaystyle{ O \cap X = n}\) - jeśli wiemy, że jesteśmy w stanie \(\displaystyle{ n}\) i wyrzuciliśmy orła, to inaczej mowiąc, przechodzimy do stanu \(\displaystyle{ n-1}\) (Abacki przegrywa). Analogicznie dla reszki, czyli

\(\displaystyle{ p_{n} = \frac{1}{2}\mathbb{P}(W \vert X = n-1) + \frac{1}{2}\mathbb{P}(W \vert X = n+1) = \frac{1}{2}p_{n-1} + \frac{1}{2}p_{n+1}}\).

Jak widzisz, te napisy tylko komplikują i polecam jednak postawić na intuicję. Abacki ma \(\displaystyle{ n}\) zł i rzucamy monetą. Albo wypadnie reszka, Abacki wygra, ma \(\displaystyle{ n+1}\) zł i w tym momencie pytamy o prawdopodobieństwo jego wygranej (czyli \(\displaystyle{ p_{n+1}}\)). Albo wypadnie orzeł, Abacki przegra, ma \(\displaystyle{ n-1}\) zł i w tym momencie pytamy o prawdopodobieństwo jego wygranej (czyli \(\displaystyle{ p_{n-1}}\))
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Abacki i Babacki

Post autor: max123321 »

Ok, rozumiem, fajnie to rozpisałeś te prawdopodobieństwa. Ja chyba się doszukuję dziury w całym, bo intuicyjnie to jest dość proste.

No dobra to podpunkt 2):
\(\displaystyle{ P(O_1|A)= \frac{P(O_1 \cap A)}{P(A)}= \frac{ \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{16} }{ \frac{6}{18} }= \frac{5}{12} }\)

Podpunkt 3):
Odpowiedź w punkcie pierwszym się nie zmieni bo dalej zachodzi \(\displaystyle{ p_n=1/2 \cdot p_{n+1}+1/2 \cdot p_{n-1}}\) i \(\displaystyle{ p_0=0,p_8=1}\). Wnioskujemy, że \(\displaystyle{ p_n}\) to dalej ciąg arytmetyczny czyli \(\displaystyle{ p_n=np_1}\) i \(\displaystyle{ p_1= \frac{1}{8} }\). Interesuje nas \(\displaystyle{ p_3= \frac{3}{8} }\), czyli tyle co poprzednio.

Odpowiedź w punkcie drugim zmieni się bo teraz:
\(\displaystyle{ P(O_1 \cap A)= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}= \frac{1}{8} }\), zatem
\(\displaystyle{ P(O_1 |A)= \frac{ \frac{1}{8} }{ \frac{3}{8} }= \frac{1}{3} }\)

Czy tak jest dobrze?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Abacki i Babacki

Post autor: Tmkk »

Tak, jest ok.
ODPOWIEDZ