Losowanie kul z urn - które rozwiązanie jest poprawne?

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
PHNX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 17 lis 2012, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Losowanie kul z urn - które rozwiązanie jest poprawne?

Post autor: PHNX »

Hej. Generalnie, zrobiłem już całe zadanie, ale zastanawiam się między dwoma rozwiązaniami i nie wiem które jest poprawne.

Treść zadania:
Dane są 3 urny. Pierwsza z trzech urn zawiera 2 białe i 3 czarne kule, druga 4 białe i 3 czarne, a trzecia 6 białych i 2 czarne kule. Z losowo wybranej urny wylosowano jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula ta została wylosowana z pierwszej urny, jeżeli jest ona biała?

\(\displaystyle{ A}\) - wybieramy białą kulę
\(\displaystyle{ B_{i}}\) - wybieramy z i-tej urny

\(\displaystyle{ P(A|B_{1})=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle{ P(A|B_{2})=\frac{4}{4+3}=\frac{4}{7}}\)
\(\displaystyle{ P(A|B_{3})=\frac{6}{6+2}=\frac{6}{8}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=P(A|B_{1}) \cdot P(B_{1})+P(A|B_{2}) \cdot P(B_{2})+P(A|B_{3}) \cdot P(B_{3})}\)

\(\displaystyle{ P(B_{1}|A)=\frac{P(A|B_{1}) \cdot P(B_{1})}{P(A)}}\)

No i tutaj już nie wiem czy obliczać to względem urn (1/3 szansy na trafienie urny) czy kul (ilość kul w urnie / 20 wszystkich kul)? Bo nie wiem czy losujemy urny, czy może jednak kule w danej urnie?

Opcja 1 z urnami:
\(\displaystyle{ P(B_{1})=P(B_{2})=P(B_{3})=\frac{1}{3}}\)

Rozwiązanie dla opcji 1:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}+\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{3}+\frac{6}{8} \cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{15}+\frac{4}{21}+\frac{6}{24}=\frac{56}{420}+\frac{80}{420}+\frac{105}{420}=\frac{56}{241}}\)

\(\displaystyle{
P(B_{1}|A)
=\frac{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{241}{420}}
=\frac{2}{15} \cdot \frac{420}{241}
=\frac{840}{3615}
=\frac{56}{241}
}\)


Opcja 2 z kulami:
\(\displaystyle{ P(B_{1})=\frac{5}{20}}\)
\(\displaystyle{ P(B_{2})=\frac{7}{20}}\)
\(\displaystyle{ P(B_{3})=\frac{8}{20}}\)

Rozwiązanie dla opcji 2:
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{20}+\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{10}+\frac{6}{8} \cdot \frac{8}{20}=\frac{2}{20}+\frac{4}{20}+\frac{6}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{
P(B_{1}|A)
=\frac{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{20}}{\frac{3}{5}}=\frac{10}{100} \cdot \frac{3}{5}=\frac{30}{500}=\frac{3}{50}
}\)


Które według Was jest poprawne?
Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 183 razy

Re: Losowanie kul z urn - które rozwiązanie jest poprawne?

Post autor: kmarciniak1 »

Opcja numer 1. Najpierw wybieramy urnę a dopiero później kulę
ODPOWIEDZ