Rozkład Poissona - problem

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
El pytacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 9 cze 2013, o 17:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 21 razy

Rozkład Poissona - problem

Post autor: El pytacz »

Mam problem z rozwiązaniem następującego zadania :

Wiadomo, że 10% owiec w pewnym stadzie ma czarne runo. Wybrano 800 z nich, aby przewieźć je na inne pastwisko. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ponad 100 owiec z tej grupy będzie miało czarne runo?

Pierwszą myślą było rozwiązanie przy użyciu rozkładu Poissona, jednak obliczenie wszystkich prawdopodobieństw od 0 do 100 jest praktycznie niemożliwe. Czy ktoś mógłby mi pomóc? Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 183 razy

Re: Rozkład Poissona - problem

Post autor: kmarciniak1 »

Możemy modelować tę sytuację przez rozkład Bernoulliego z parametrami \(\displaystyle{ n=800}\) i \(\displaystyle{ p=0.1}\). No i liczysz \(\displaystyle{ P(X>100)}\)Pakiety statystyczne takie jak R poradzą sobie z tym od ręki.
El pytacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 9 cze 2013, o 17:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 21 razy

Re: Rozkład Poissona - problem

Post autor: El pytacz »

A jak sobie z tym poradzić nie używając programu?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozkład Poissona - problem

Post autor: Premislav »

Można spróbować skorzystać z twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a, żeby przybliżyć to prawdopodobienstwo z Bernoulliego rozkładem normalnym. Zobacz:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_de_Moivre%E2%80%99a-Laplace%E2%80%99a

Niemniej jednak będzie to wynik przybliżony, na zwinięcie takiej sumy ze współczynnikami dwumianowymi nie mam żadnego mądrego sposobu i bardzo wątpię, żeby w ogóle on istniał.
Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 183 razy

Re: Rozkład Poissona - problem

Post autor: kmarciniak1 »

Ahh no tak można skorzystać z podpowiedzi Premislava, nie wiem czy jest ona oczywista dla zadającego pytanie a jeśli nigdy nie robił takiego przybliżenia to najpewniej nie jest, więc może rozwiąże.
\(\displaystyle{ P(X>100) \approx P(Y>100,5)=P(Z> \frac{100,5-80}{ \sqrt{80 \cdot 0,9} }) =P(Z>2,416)=0,0082}\)
W równościach korzystałem kolejno z uciąglenia zmiennej \(\displaystyle{ X }\)jako \(\displaystyle{ Y}\), przejścia do standardowego rozkładu normalnego i na koniec odczytałem wynik z tablic

Wczoraj też wklepałem do R to co trzeba i dokładny wynik to \(\displaystyle{ 0.009434075}\) więc przybliżenie rozkładem normalnym jest bardzo dobre.
El pytacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 9 cze 2013, o 17:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 21 razy

Re: Rozkład Poissona - problem

Post autor: El pytacz »

Myślę że to będzie najlepszy sposób, wielkie dzięki Panom za pomoc.
ODPOWIEDZ