Oblicz prawdopodobieństwo

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Oblicz prawdopodobieństwo

Post autor: max123321 »

Z odcinka \(\displaystyle{ [0, 1]}\) wylosowano na chybił trafił dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że
1) większa z liczb jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1/2}\);
2) większa z liczb jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1/2}\), jeśli wiadomo, że mniejsza z liczb jest większa
niż \(\displaystyle{ 1/4}\);
3) większa z liczb jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1/2}\), jeśli wiadomo, że któraś z liczb jest większa
niż \(\displaystyle{ 1/4}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
1) Tutaj to zdarzenie to chyba oznacza, że obydwie liczby mają być mniejsze niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), więc jeśli rozrysujemy sobie to w układzie współrzędnych to będzie to prawdopodobieństwo będzie równe ilorazowi pola kwadratu o boku \(\displaystyle{ 1/4}\) to pola kwadratu o boku \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ P(A|B)=1/4}\)

2) \(\displaystyle{ A}\)- zdarzenie, że większa liczba jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1/2}\)
\(\displaystyle{ B}\)- zdarzenie, że mniejsza z liczb jest większa niż \(\displaystyle{ 1/4}\), zatem \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) jest równe polu kwadratu o wierzchołkach \(\displaystyle{ (1/4;1/4),(1/2;1/4),(1/2;1/2),(1,4;1/2)}\) czyli \(\displaystyle{ 1/16}\), natomiast \(\displaystyle{ P(B)}\) jest równe polu kwadratu o wierzchołkach \(\displaystyle{ (1/4;1/4),(1;1/4),(1,1),(1/4;1)}\) czyli \(\displaystyle{ 9/16}\), zatem \(\displaystyle{ P(A|B)=1/9}\)

3) \(\displaystyle{ A}\)-zdarzenie, że większa z liczb jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1/2}\),
\(\displaystyle{ B}\)-zdarzenie, że któraś z liczb jest większa niż \(\displaystyle{ 1/4}\), więc \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) jest równe polu figury o wierzchołkach \(\displaystyle{ (1/4;0),(1/2;0),(1/2;1),(0;1),(0;1/4),(1/4;1/4)}\) czyli \(\displaystyle{ 3/16}\), natomiast \(\displaystyle{ P(B)}\) jest równe polu całego kwadratu o boku jeden minus polu kwadratu o boku \(\displaystyle{ 1/4}\), zatem jest równe \(\displaystyle{ 15/16}\), czyli \(\displaystyle{ P(A|B)=3/15= \frac{1}{5} }\)

Czy tak jest dobrze? Może ktoś potwierdzić, albo zaprzeczyć?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Oblicz prawdopodobieństwo

Post autor: Tmkk »

Wygląda ok. Ogólnie jest trochę łatwiej, jeśli przyjmiesz, że na przykład \(\displaystyle{ y > x}\) (losujesz dwie liczby, możesz bez straty ogólności większą ustawić na pierwszym miejscu). Wtedy za przestrzeń probabilistyczną masz trójkąt i te wszystkie warunki "mniejsza / większa liczba" się upraszczają.
ODPOWIEDZ