Grupę dzieci ustawiono w szereg

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Grupę dzieci ustawiono w szereg

Post autor: max123321 »

Grupę \(\displaystyle{ n}\) dzieci ustawiono w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo
tego, że
1) Jacek stoi bezpośrednio przed Agatką, jeśli Agatka stoi bezpośrednio przed Dorotką;
2) Jacek stoi przed Agatką, jeśli Agatka stoi przed Dorotką;
3) Jacek stoi przed Agatką, jeśli wiemy, że Agatka nie stoi ostatnia

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
1) \(\displaystyle{ A}\)-zdarzenie, że J stoi bezpośrednio przed A, \(\displaystyle{ B}\)-zdarzenie, że A stoi bezpośrednio przed D
\(\displaystyle{ |A \cap B|=(n-2)!}\), natomiast \(\displaystyle{ |B|=(n-1)!}\), więc prawdopodobieństwo warunkowe \(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{(n-2)!}{(n-1)!}= \frac{1}{n-1} }\)

2) \(\displaystyle{ A}\)-zdarzenie, że J stoi przed A, \(\displaystyle{ B}\)-zdarzenie, że A stoi przed D.
\(\displaystyle{ |A \cap B|= {n \choose 3} \cdot (n-3)! }\), \(\displaystyle{ |B|= {n \choose 2}(n-2)! }\), zatem
\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{{n \choose 3} \cdot (n-3)!}{{n \choose 2}(n-2)! }= \frac{1}{3} }\)

3) \(\displaystyle{ A}\)-zdarzenie, że J stoi przed A, \(\displaystyle{ B}\)-zdarzenie, że A stoi nieostatnia
\(\displaystyle{ |A \cap B|= {n-1 \choose 2}(n-2)! }\), \(\displaystyle{ |B|=(n-1)(n-1)!}\), zatem \(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{{n-1 \choose 2}(n-2)!}{(n-1)(n-1)!}= \frac{n-2}{2n-2} }\)

Czy tak jest dobrze?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Grupę dzieci ustawiono w szereg

Post autor: Tmkk »

1) ok.

Bez liczenia, wyobraź sobie, że w kolejce stoi \(\displaystyle{ (n-1)}\) dzieci i Agatka stoi bezpośrednio przed Dorotką. Przychodzi Jacek, ma on \(\displaystyle{ n-1}\) opcji, gdzie może stanąć (normalnie miałby \(\displaystyle{ n}\), ale nie może wcisnąć się między Agatkę a Dorotkę) i tylko jedna z tych opcji jest dobra - bezpośrednio przed Agatką. Stąd \(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}}\).

Jeszcze prościej, jeśli Agatka ma stać bezpośrednio przed Dorotką, można je traktować jak jedno dziecko. Wtedy mamy \(\displaystyle{ n-2}\) dzieci, przychodzi Jacek i wybiera jedno z \(\displaystyle{ n-1}\) miejsc.

2) ok.

Znowu bez liczenia, tym razem wyobraź sobie, że w kolejce stoi tylko Agatka i za nią Dorotka. Przychodzi Jacek i wybiera jedną z \(\displaystyle{ 3}\) opcji - przed Agatką, między dziewczynkami, za Dorotką. Potem przychodzi reszta dzieci i stają jakkolwiek, nie zmieniając kolejności wyróżnionej trójki. Stąd ta \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

3) Liczyłem przez zdarzenia przeciwne i wyszło to samo, więc chyba ok.
ODPOWIEDZ