Niezależność zmiennych losowych

[Julia0909]

Czy jeżeli wiem, że zmienna \(\displaystyle{ X_{i,n}}\) jest niezależna od zmiennej \(\displaystyle{ I_{n}}\) to czy tę wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mathbb{E}f(\mathbf{1}(I_{n}= i) X_{i,n})}\) mogę zapisać jako \(\displaystyle{ \mathbb{E}(\mathbf{1}(I_{n}= i))\cdot\mathbb{E}f(X_{i,n})}\)? Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dowolną funkcją absolutnie ciągłą.

[Tmkk]

Wydaje mi się, że tak. Pytanie właściwie rozchodzi się o to, czy \(\displaystyle{ f(1_{(I_n = i)}X_{i,n}) = f(X_{i,n})1_{(I_n = i)}}\), dalej korzystamy z niezależności.

Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła i ograniczona, można ją przybliżyć wielomianami (twierdzenie Weierstrassa), a dla wielomianu mamy powyższą równość, ponieważ \(\displaystyle{ \left(1_{(I_n = i)}\right)^k = 1_{(I_n = i)}}\). Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest nieograniczona, można zrobić to samo dla \(\displaystyle{ f_L(x) = f(x)\cdot 1_{[-L,L]}}\) i przejść z \(\displaystyle{ L \to \infty}\).