W celu oszacowania liczby ryb w stawie złowiono n ryb i po oznakowaniu wypuszczono je z powrotem. Następnie znowu złowiono \(\displaystyle{ n}\) ryb i okazało się, że \(\displaystyle{ k}\) ryb jest oznakowanych. Dla jakiej liczby \(\displaystyle{ N}\) ryb w stawie taki wynik jest najbardziej prawdopodobny?
Pierwszy mój pomysł był, żeby policzyć to prawdopodobieństwo dla pewnej liczby N i potem sprawdzić dla jakiego \(\displaystyle{ N}\) to wyrażenie przyjmuje największą wartość. No więc prawdopodobieństwo, że wśród złapanych ponownie \(\displaystyle{ n}\) ryb, \(\displaystyle{ k}\) będzie oznakowanych wynosi: \(\displaystyle{ \frac{ {N-n \choose n-k} {n \choose k} }{ {N \choose k} } }\), jednak nie potrafię tego wyrażenia zmaksymalizować, więc nie wiem czy tędy droga...
Drugi mój pomysł był oparty na założeniu, że procent ryb oznakowanych do ryb złapanych jest taki sam jak procent ryb oznakowanych do wszystkich ryb w stawie. Jeśli to założenie jest sensowne to można napisać: \(\displaystyle{ \frac{k}{n} \cdot N=n }\), co daje \(\displaystyle{ N= \frac{n^2}{k} }\). Pytanie jednak co jeśli ta liczba jest niecałkowita? Mam pewne wątpliwości czy to jest dobrze, poza tym to dość niedokładne rozumowanie.
Czy może się ktoś wypowiedzieć czy któraś z tych dróg jest dobra i jak ewentualnie dokończyć to zadanie?
Ryby w stawie
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Ryby w stawie
Oba pomysły są ok.
Co do pierwszego, jest mały błąd, powinno byc \(\displaystyle{ p_N = \frac{ {N-n \choose n-k} {n \choose k} }{ {N \choose \color{red} n} }}\). Aby to zmaksymalizować, sprawdź kiedy ten ciąg rośnie / maleje, tzn policz sobie \(\displaystyle{ \frac{p_{N+1}}{p_{N}} \ge 1}\). Gdy rozpiszesz te symbole Newtona, prawie wszystko się skróci i będzie super prosto.
Co do drugiego, to tak, tak powinno być. Jeśli ta liczba nie jest całkowita, to pewnie trzeba zaokrąglić w górę lub w dół (a może jedno i drugie jest ok?), ale to wszystko będzie widać z obliczeń ze sposobu pierwszego.
Co do pierwszego, jest mały błąd, powinno byc \(\displaystyle{ p_N = \frac{ {N-n \choose n-k} {n \choose k} }{ {N \choose \color{red} n} }}\). Aby to zmaksymalizować, sprawdź kiedy ten ciąg rośnie / maleje, tzn policz sobie \(\displaystyle{ \frac{p_{N+1}}{p_{N}} \ge 1}\). Gdy rozpiszesz te symbole Newtona, prawie wszystko się skróci i będzie super prosto.
Co do drugiego, to tak, tak powinno być. Jeśli ta liczba nie jest całkowita, to pewnie trzeba zaokrąglić w górę lub w dół (a może jedno i drugie jest ok?), ale to wszystko będzie widać z obliczeń ze sposobu pierwszego.
-
- Użytkownik
- Posty: 3388
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Ryby w stawie
Tak, racja, tam się pomyliłem, ale miałem to na myśli.
Wyszło mi, że \(\displaystyle{ \frac{P_{N+1}}{P_N} \ge 1 }\) dla \(\displaystyle{ N \le \frac{n^2-k}{k} }\), czyli z tego by wynikało, że największe \(\displaystyle{ P}\) jest w przybliżeniu dla \(\displaystyle{ \frac{n^2-k}{k}+1= \frac{n^2}{k} }\), ale nie wiem jak to będzie z tymi częściami całkowitymi. Na bazie przykładowych obliczeń wychodzi mi, że maksimum jest dla podłogi \(\displaystyle{ \left[ \frac{n^2}{k} \right] }\), ale nie wiem jak to jakoś sensownie wytłumaczyć. Możesz mi jakoś to wyjaśnić? A jeszcze druga rzecz skąd wiemy, że będzie jedno maksimum? Czy to wynika z tego, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{n^2-k}{k} }\), to jakaś stała po prostu?
Wyszło mi, że \(\displaystyle{ \frac{P_{N+1}}{P_N} \ge 1 }\) dla \(\displaystyle{ N \le \frac{n^2-k}{k} }\), czyli z tego by wynikało, że największe \(\displaystyle{ P}\) jest w przybliżeniu dla \(\displaystyle{ \frac{n^2-k}{k}+1= \frac{n^2}{k} }\), ale nie wiem jak to będzie z tymi częściami całkowitymi. Na bazie przykładowych obliczeń wychodzi mi, że maksimum jest dla podłogi \(\displaystyle{ \left[ \frac{n^2}{k} \right] }\), ale nie wiem jak to jakoś sensownie wytłumaczyć. Możesz mi jakoś to wyjaśnić? A jeszcze druga rzecz skąd wiemy, że będzie jedno maksimum? Czy to wynika z tego, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{n^2-k}{k} }\), to jakaś stała po prostu?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Ryby w stawie
Trzeba na to na spokojnie popatrzeć. Podzielmy na dwa przypadki. Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ \frac{n^2}{k}}\) jest liczbą całkowitą. Wtedy mamy, że dla \(\displaystyle{ N < \frac{n^2}{k} -1}\) zachodzi \(\displaystyle{ p_{N+1} > p_{N}}\), dla \(\displaystyle{ N = \frac{n^2}{k} - 1}\) jest \(\displaystyle{ p_{N+1} = p_N}\) oraz \(\displaystyle{ N > \frac{n^2}{k} - 1}\) jest \(\displaystyle{ p_{N+1} < p_N}\) - tak Ci wyszło badając ilorazy.
Napiszę to w jednym ciągu:
\(\displaystyle{ p_1 < p_2 < p_3 < \ldots < p_{\frac{n^2}{k}-2} < p_{\frac{n^2}{k}-1} = p_{\frac{n^2}{k}} > p_{\frac{n^2}{k} + 1} > p_{\frac{n^2}{k} + 2} > \ldots}\).
Myślę, że już stąd dobrze widać, że maksimum będzie przyjmowane w dwóch punktach, dla \(\displaystyle{ N = \frac{n^2}{k}-1}\) oraz \(\displaystyle{ N = \frac{n^2}{k}}\)
Ok, to teraz gdy \(\displaystyle{ \frac{n^2}{k}}\) nie jest całkowite, to musimy zapisać to w taki sposób: mamy, że dla \(\displaystyle{ N \le \left[ \frac{n^2}{k}\right] -1}\) zachodzi \(\displaystyle{ p_{N+1} > p_{N}}\), bo \(\displaystyle{ \left[ \frac{n^2}{k}\right] - 1 < \frac{n^2}{k} - 1}\) oraz dla \(\displaystyle{ N \ge \left[ \frac{n^2}{k}\right]}\) jest \(\displaystyle{ p_{N+1} < p_N}\), bo \(\displaystyle{ \left[ \frac{n^2}{k}\right] > \frac{n^2}{k} - 1}\). Wszędzie są ostre nierówności, bo równość była tylko dla \(\displaystyle{ N = \frac{n^2}{k}-1}\), a takiego \(\displaystyle{ N}\) nie można wziąć.
Jak się to zapisze znowu w takim ciągu:
\(\displaystyle{ p_1 < p_2 < p_3 < \ldots < p_{ \left[ \frac{n^2}{k}\right]-2} < p_{ \left[ \frac{n^2}{k}\right]-1} < p_{ \left[ \frac{n^2}{k}\right]} > p_{ \left[ \frac{n^2}{k}\right] + 1} > p_{ \left[ \frac{n^2}{k}\right] + 2} > \ldots}\).
to widać, żę maksimum będzie przyjmowane dla \(\displaystyle{ N = \left[ \frac{n^2}{k}\right]}\).
I tak, \(\displaystyle{ n,k}\) masz dane, to są jakieś liczby, więc wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{n^2-k}{k}}\) to po prostu jakaś liczba. Maksimum szukasz globalnego, więc jeśli istnieje, to będzie jedno. Ale jak widać, może się zdarzyć, że będzie przyjmowane w dwóch różnych punktach.
Napiszę to w jednym ciągu:
\(\displaystyle{ p_1 < p_2 < p_3 < \ldots < p_{\frac{n^2}{k}-2} < p_{\frac{n^2}{k}-1} = p_{\frac{n^2}{k}} > p_{\frac{n^2}{k} + 1} > p_{\frac{n^2}{k} + 2} > \ldots}\).
Myślę, że już stąd dobrze widać, że maksimum będzie przyjmowane w dwóch punktach, dla \(\displaystyle{ N = \frac{n^2}{k}-1}\) oraz \(\displaystyle{ N = \frac{n^2}{k}}\)
Ok, to teraz gdy \(\displaystyle{ \frac{n^2}{k}}\) nie jest całkowite, to musimy zapisać to w taki sposób: mamy, że dla \(\displaystyle{ N \le \left[ \frac{n^2}{k}\right] -1}\) zachodzi \(\displaystyle{ p_{N+1} > p_{N}}\), bo \(\displaystyle{ \left[ \frac{n^2}{k}\right] - 1 < \frac{n^2}{k} - 1}\) oraz dla \(\displaystyle{ N \ge \left[ \frac{n^2}{k}\right]}\) jest \(\displaystyle{ p_{N+1} < p_N}\), bo \(\displaystyle{ \left[ \frac{n^2}{k}\right] > \frac{n^2}{k} - 1}\). Wszędzie są ostre nierówności, bo równość była tylko dla \(\displaystyle{ N = \frac{n^2}{k}-1}\), a takiego \(\displaystyle{ N}\) nie można wziąć.
Jak się to zapisze znowu w takim ciągu:
\(\displaystyle{ p_1 < p_2 < p_3 < \ldots < p_{ \left[ \frac{n^2}{k}\right]-2} < p_{ \left[ \frac{n^2}{k}\right]-1} < p_{ \left[ \frac{n^2}{k}\right]} > p_{ \left[ \frac{n^2}{k}\right] + 1} > p_{ \left[ \frac{n^2}{k}\right] + 2} > \ldots}\).
to widać, żę maksimum będzie przyjmowane dla \(\displaystyle{ N = \left[ \frac{n^2}{k}\right]}\).
I tak, \(\displaystyle{ n,k}\) masz dane, to są jakieś liczby, więc wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{n^2-k}{k}}\) to po prostu jakaś liczba. Maksimum szukasz globalnego, więc jeśli istnieje, to będzie jedno. Ale jak widać, może się zdarzyć, że będzie przyjmowane w dwóch różnych punktach.
-
- Użytkownik
- Posty: 7911
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Ryby w stawie
Metoda Największej Wiarygodności
Tworzymy funkcję wiarygodności wyniku \(\displaystyle{ X^{T} = (x_{1}, x_{2},...,x_{N})}\)
\(\displaystyle{ L_{X}(N) = \frac{{k\choose x}{N-k \choose n-x}}{{N\choose n}} .}\)
gdzie \(\displaystyle{ N }\) jest nieznaną liczbą ryb w jeziorze, \(\displaystyle{ k }\) liczbą ryb oznakowanych, \(\displaystyle{ n }\) liczbą ryb wyłowionych, \(\displaystyle{ x }\) liczbą ryb wyłowionych i oznakowanych.
Tworzymy iloraz wiarygodności
\(\displaystyle{ \frac{L_{X}(N+1)}{L_{X}(N)}= \frac{(N+1 -k)(N+1-n)}{(N+1-k -n +x)(N+1)} }\)
\(\displaystyle{ \frac{L_{X}(N+1)}{L_{X}(N)} \leq 1 \Leftrightarrow N \geq \frac{k\cdot n}{x} -1 }\)
Stąd wynika rozwiązanie w postaci estymatora największej wiarygodności
\(\displaystyle{ \hat{N}(x) = \begin{cases} \lfloor \frac{k\cdot n}{x} \rfloor \ \ \text{gdy}, \ \ \frac{k\cdot n}{x} \notin \ZZ \\
\frac{k\cdot x}{n}, \ \ \text{gdy} \frac{k\cdot x}{n} \ \ \in \ZZ \end{cases} }\)
Tworzymy funkcję wiarygodności wyniku \(\displaystyle{ X^{T} = (x_{1}, x_{2},...,x_{N})}\)
\(\displaystyle{ L_{X}(N) = \frac{{k\choose x}{N-k \choose n-x}}{{N\choose n}} .}\)
gdzie \(\displaystyle{ N }\) jest nieznaną liczbą ryb w jeziorze, \(\displaystyle{ k }\) liczbą ryb oznakowanych, \(\displaystyle{ n }\) liczbą ryb wyłowionych, \(\displaystyle{ x }\) liczbą ryb wyłowionych i oznakowanych.
Tworzymy iloraz wiarygodności
\(\displaystyle{ \frac{L_{X}(N+1)}{L_{X}(N)}= \frac{(N+1 -k)(N+1-n)}{(N+1-k -n +x)(N+1)} }\)
\(\displaystyle{ \frac{L_{X}(N+1)}{L_{X}(N)} \leq 1 \Leftrightarrow N \geq \frac{k\cdot n}{x} -1 }\)
Stąd wynika rozwiązanie w postaci estymatora największej wiarygodności
\(\displaystyle{ \hat{N}(x) = \begin{cases} \lfloor \frac{k\cdot n}{x} \rfloor \ \ \text{gdy}, \ \ \frac{k\cdot n}{x} \notin \ZZ \\
\frac{k\cdot x}{n}, \ \ \text{gdy} \frac{k\cdot x}{n} \ \ \in \ZZ \end{cases} }\)