W urnie siedzą kule

[max123321]

Z urny zawierającej kule o numerach \(\displaystyle{ 1, 2, . . . , n}\) losujemy \(\displaystyle{ k}\) razy po jednej kuli. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że numery wylosowanych kul zapisane w kolejności
losowania tworzą ciąg rosnący, jeśli po każdym losowaniu kula:
i) zostaje zwrócona do urny,
ii) nie zostaje zwrócona do urny.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
W przypadku i) skoro ciąg kul ma być rosnący to w wylosowanych numerach nie można już zmieniać kolejności, a zatem moc zbioru zdarzeń sprzyjających to będzie \(\displaystyle{ |A|= {n \choose k} }\).
Moc zbioru wszystkich zdarzeń to będzie dowolny ciąg \(\displaystyle{ k}\)-elementowy ze zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego czyli \(\displaystyle{ |\Omega|=n^k}\). Czyli prawdopodobieństwo to:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{ {n \choose k} }{n^k} }\).

W przypadku ii) zbiór zdarzeń sprzyjających się nie zmieni, zatem \(\displaystyle{ |A|= {n \choose k} }\). Zmieni się natomiast zbiór wszystkich zdarzeń, tym razem losujemy bez zwrotu zatem \(\displaystyle{ |\Omega|=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1)}\). Czyli \(\displaystyle{ P(A)= \frac{ {n \choose k} }{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1)}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{n!}{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!k!}= \frac{1}{k!} }\).

Czy tak jest dobrze? Może ktoś to potwierdzić?

[Tmkk]

Tak, jest dobrze.

Co do punktu b), można na to popatrzeć trochę inaczej. Zauważ, że nie ma znaczenia jakie liczby wylosujemy, jedyne co się liczy, to aby były w porządku rosnącym. Więc to zadanie sprowadza się do pytania o prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ k}\) różnych liczb tworzy rosnący ciąg. To wiadomo, wszystkich ustawień jest \(\displaystyle{ k!}\) i tylko jedno ustawienie daje ciąg rosnący, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{k!}}\).