Własności
-
Julia0909
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 16 mar 2021, o 16:21
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 4 razy
Własności
Czy jeżeli mam, że \(\displaystyle{ \mathbb{P}(I_{n}=i) = \sigma_{i,n}^2}\) to czy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}(I_{n}= i)=\sum_{i=1}^{n} \sigma_{i,n}^2}\)? Tutaj \(\displaystyle{ \mathbf{1}}\) oznacza indykator zbioru. Mam też pytanie ogólne-kiedy można wchodzić z wartością oczekiwaną pod szereg? Czy jest to związane z niezależnością zmiennych? Tzn. kiedy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}\mathbb{E}(X_i)=\mathbb{E}(\sum_{i=1}^{\infty}X_i)}\)?
-
Tmkk
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Własności
W pierwszych sumach zgubiłaś \(\displaystyle{ \mathbb{E}}\) i byłoby ok:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n 1_{(I_n = i)}\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}1_{(I_n = i)} = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(I_n = i) = \sum_{i=1}^n \sigma_{i,n}^2}\)
i wynika to z tego, że wartość oczekiwana - jako że jest to całka - jest liniowa, tzn \(\displaystyle{ \mathbb{E}(aX + Y) = a\mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)}\) zawsze.
Co do drugiego pytania, to nie ma to związku z niezależnością (to przy iloczynie, dla niezależnych \(\displaystyle{ X,Y}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)}\)), a raczej z uzasadnieniem zamiany kolejności brania granicy i całkowania, bo
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^\infty X_i\right) = \mathbb{E}\left(\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n X_i\right) \color{red}{=} \color{black} \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left( \sum_{i=1}^n X_i\right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i) = \sum_{i=1}^\infty \mathbb{E}(X_i)}\).
Czerwona równość to ewentualny problem, w reszcie przejść nic się nie dzieje (oprócz liniowości wartości oczekiwanej). Więc na przykład, gdy \(\displaystyle{ X_i \ge 0}\) to możemy powołać się na twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej (ciąg \(\displaystyle{ f_n = \sum_{i = 1}^n X_i}\) jest niemalejący) i jest dobrze.
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n 1_{(I_n = i)}\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}1_{(I_n = i)} = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(I_n = i) = \sum_{i=1}^n \sigma_{i,n}^2}\)
i wynika to z tego, że wartość oczekiwana - jako że jest to całka - jest liniowa, tzn \(\displaystyle{ \mathbb{E}(aX + Y) = a\mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)}\) zawsze.
Co do drugiego pytania, to nie ma to związku z niezależnością (to przy iloczynie, dla niezależnych \(\displaystyle{ X,Y}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)}\)), a raczej z uzasadnieniem zamiany kolejności brania granicy i całkowania, bo
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^\infty X_i\right) = \mathbb{E}\left(\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n X_i\right) \color{red}{=} \color{black} \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left( \sum_{i=1}^n X_i\right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i) = \sum_{i=1}^\infty \mathbb{E}(X_i)}\).
Czerwona równość to ewentualny problem, w reszcie przejść nic się nie dzieje (oprócz liniowości wartości oczekiwanej). Więc na przykład, gdy \(\displaystyle{ X_i \ge 0}\) to możemy powołać się na twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej (ciąg \(\displaystyle{ f_n = \sum_{i = 1}^n X_i}\) jest niemalejący) i jest dobrze.