Mam dane niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_i \sim N(m_x,\sigma^2), Y_i\sim N(m_y,\sigma^2)}\) gdzie \(\displaystyle{ i=1,...,n}\) (wszystko jest niezależne ze wszystkim mówiąc krótko). Do jedengo z zadań potrzebna mi jest wariancja postaci \(\displaystyle{ Var(\sum_{\substack{i=1,...,n\\ j=1,...,n}} X_i Y_j)}\). Starałem się to policzyć rozpisując to na sumę wariancji i kowariancji, jednak wtedy pogubiłem się przy rozpisywaniu kowariancji.
\(\displaystyle{ \sum_{\substack{1\leq i < k \leq n\\ 1\leq j < l \leq n \\ i\neq k \vee j\neq l}} Cov(X_iY_j,X_k Y_l) = \sum_{\substack{i=1,...,n\\ 1\leq j < l \leq n}} Cov(X_iY_j,X_i Y_l) + \sum_{\substack{1\leq i < k \leq n\\ j=1,..., n}}Cov(X_iY_j,X_k Y_j) + \sum_{i\neq j \neq k \neq l} Cov(X_iY_j,X_k Y_l) + ... }\)
Byłbym wdzięczny za jakąkolwiek sugestie jak sobie z tym poradzić.