Urna i skrzynia

[mol_ksiazkowy]

W urnie jest \(\displaystyle{ n}\) kul białych i \(\displaystyle{ m}\) kul czarnych, zaś obok mamy skrzynię z dużą wystarczającą ilością kul czarnych. Z urny losujemy dwie kule; jeśli są jednokolorowe to odkładamy je, zaś do urny wkładamy kulę czarną ze skrzyni; jeśli zaś są różnokolorowe to czarną kulę odkładamy a białą z powrotem wkładamy do urny. Operacja jest powtarzana dopóki w urnie jest już tylko jedna kula. Jakie jest prawdopodobieństwo, tego że będzie to kula biała ?

[kerajs]

Ponieważ losowanie nie zmienia parzystości liczby kul białych w urnie (gdyż ilość ta pozostaje bez zmian lub zmniejsza się o 2), to kolor ostatniej kuli zależy wyłącznie od parzystości \(\displaystyle{ n}\). Dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) ostatnia kula będzie biała ( \(\displaystyle{ P=1}\) ), a czarna dla parzystych \(\displaystyle{ n}\) ( \(\displaystyle{ P=0}\) ).