Dowód przestrzeń probabilistyczna

[aneta909811]

Niech \(\displaystyle{ \left( \Omega, \FFF, \PP \right) }\) będzie przestrzenią probabilistyczną. Udowodnić, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ X \quad :\Omega \rightarrow \RR}\) następujące warunki są równoważne.
\(\displaystyle{ \left( 1\right) \quad \left\{ \omega \in \Omega \quad : X\left( \omega\right) >a \right\} \in \FFF }\) dla każdego \(\displaystyle{ a \in \RR}\)
\(\displaystyle{ \left( 2\right) \quad \left\{ \omega \in \Omega \quad : X\left( \omega\right) \ge a \right\} \in \FFF }\) dla każdego \(\displaystyle{ a \in \RR}\)

[Tmkk]

Jakieś próby / pomysły?

[janusz47]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \mathcal{F} }\) jest \(\displaystyle{ \sigma }\) -ciałem, więc jest klasą zamkniętą na przeliczalne działania mnogościowe.

Równoważność \(\displaystyle{ (1) \Leftrightarrow (2) }\) wynika z zapisu powyższych zbiorów w postaci sumy i iloczynu zbiorów.