Załóżmy, że zmienne \(\displaystyle{ N,M_1,M_2,M_3...}\) powiązane ze zmienną \(\displaystyle{ K}\) zależnością: \(\displaystyle{ K=M_1+M_2+M_3+...+M_N}\) spełniają założenia rozkładu złożonego.
Zmienna \(\displaystyle{ M_i}\) ma rozkład dwumianowy:
\(\displaystyle{ P(M_i=1)=Q}\) i \(\displaystyle{ P(M_i=0)=1-Q}\)
Przyjmujemy następującą interpretację zmiennych zadania:
\(\displaystyle{ N}\) to liczba roszczeń zgłoszonych z pewnego ryzyka
\(\displaystyle{ M_i}\) to zmienna, która przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\), gdy roszczenie \(\displaystyle{ i}\)-te zostało uznane przez ubezpieczyciela oraz \(\displaystyle{ 0}\) jeśli zostało oddalone.
Wobec tego z ogólnej liczby \(\displaystyle{ N}\) roszczeń zgłoszonych z tego ryzyka \(\displaystyle{ K}\) to liczba roszczeń uznanych, zaś \(\displaystyle{ N-K}\) to liczba roszczeń oddalonych.
Znajdź warunkowy rozkład zmiennej \(\displaystyle{ K}\) pod warunkiem, że \(\displaystyle{ N_K=m}\) w przypadku, gdy zmienna \(\displaystyle{ N}\) ma rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ (n,q)}\)
Proszę o sprawdzenie, czy dobrze to robię:
Wyliczyłem wcześniej, że zmienna \(\displaystyle{ N-K}\) ma rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ (n,q(1-Q))}\), zatem:
\(\displaystyle{ P(N-K=m)= {n \choose m}(q(1-Q))^m(1-q(1-Q))^{n-m} }\)
\(\displaystyle{ P(K=k,N=m+k)= {m+k \choose k}Q^k(1-Q)^m }\)
Zatem ostatecznie:
\(\displaystyle{ P(K=k|N-K=m)= \frac{ {m+k \choose k}Q^k(1-Q)^m }{ {n \choose m}q^m(1-Q)^m(1-q(1-Q))^{n-m} } }\)
Czy tak jest dobrze?
