Klasyk turniejowy

[mol_ksiazkowy]

W turnieju tenisowym jest \(\displaystyle{ 2^n}\) graczy, w systemie rundowym, przegrany odpada, zaś prawdopodobieństwo wygrania dowolnego gracza z każdym innym jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\). Ustaleni są gracze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
i) zagrają oni ze sobą w pierwszej rundzie
ii) nie zagrają ze sobą
iii) zagrają ze sobą w finale

[kerajs]

Zakładam, że drabika turniejowa nie zawiera graczy rozstawionych. Jeśli tacy są, a w turniejach tenisowych to standard, to brakuje danych do rozwiązania zadania.

\(\displaystyle{
P(i)= \frac{2^n}{2^n} \cdot \frac{1}{2^n-1} =\frac{1}{2^n-1} \\ \\
P(iii)=\frac{2^n}{2^n} \cdot \frac{2^{n-1}}{2^n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} =\frac{\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}}{2^n-1}= \frac{1}{2^{n-1}(2^n-1)} \\ \\
P(ii)=1-P(ii')=1-\left( \frac{2^n}{2^n} \cdot \frac{1}{2^n-1}+\frac{2^n}{2^n} \cdot \frac{2^{1}}{2^n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{1} + \\ +\frac{2^n}{2^n} \cdot \frac{2^{2}}{2^n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2}
+...+\frac{2^n}{2^n} \cdot \frac{2^{n-1}}{2^n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right)= \\
1- \frac{1}{2^n-1} \left( 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}} \right)=1- \frac{ \frac{1- \frac{1}{2^n} }{1- \frac{1}{2} } }{2^n-1} =1-\frac{1}{2^{n-1}}

}\)