Mam pytanie, o co chodzi w warunkowej wartości oczekiwanej i jak to się liczy. Wiem, że
\(\displaystyle{ E(X|A)= \frac{1}{P(A)} \int_{A}^{}X \dd P }\)
Ale nie mam pojęcia o co chodzi z tą całką i jak to przekuć na obliczanie tego, bo widzę, że tu często w zadaniach na obliczanie warunkowej wartości oczekiwanej nie liczą żadnych całek. Oto przykład:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie liczbą orłów otrzymaną przy dwukrotnym rzucie monetą, \(\displaystyle{ A}\)-zdarzeniem polegającym na wypadnięciu orła w pierwszym rzucie.
No i dobra, ja tak jak rozumiem to liczę tak: Liczę rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X|A}\), więc
\(\displaystyle{ P(0|A)= \frac{P(0 \cap A)}{P(A)}=0 }\),
\(\displaystyle{ P(1|A)= \frac{P(1 \cap A)}{P(A)}= \frac{1/4}{1/2}=1/2 }\),
\(\displaystyle{ P(2|A)= \frac{P(2 \cap A)}{P(A)}= \frac{1/4}{1/2}=1/2}\),
I teraz liczę jak zwykłą wartość oczekiwaną ze zmiennej \(\displaystyle{ X|A}\) czyli:
\(\displaystyle{ E(X|A)=0 \cdot 0+1 \cdot 1/2+2 \cdot 1/2=3/2}\)
Czy dobrze to liczę?
W książce Jakubowski, Sztencel otrzymują ten sam wynik, ale liczą trochę inaczej, tak:
\(\displaystyle{ E(X|A)= \frac{1}{1/2}(1 \cdot 1/4+2 \cdot 1/4)=3/2 }\) i jeszcze liczą nie wiem po co \(\displaystyle{ E(X|A')=1/2}\)
Więc nie wiem czy nie popełniam jakiegoś błędu w liczeniu?
Jakby mi mógł ktoś wyjaśnić moje wątpliwości i jak się liczy tą warunkową wartość oczekiwaną to będę wdzięczny. Tylko bym prosił nie faszerować mnie jakąś ciężką teorią miary w miarę możliwości...
Dodano po 15 godzinach 38 minutach 43 sekundach:
Może mi ktoś wyjaśnić tą warunkową wartość oczekiwaną?
Dodano po 17 godzinach 30 minutach 21 sekundach:
Naprawdę, nikt nie jest w stanie mi pomóc?
Warunkowa wartość oczekiwana
-
Tmkk
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Warunkowa wartość oczekiwana
Z tą całką chodzi dokładnie tyle samo, co we wzorze na zwykłą wartość oczekiwaną, czyli \(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_{\Omega} X\mbox{d}\mathbb{P}}\), a nawet może napiszę to w postaci, która jeszcze bardziej przypomina średnią:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \frac{1}{\mathbb{P}(\Omega)}\int_{\Omega} X\mbox{d}\mathbb{P}}\).
Różnica jest taka, że teraz wiesz, że jakieś zdarzenia (zbiór \(\displaystyle{ A}\)) zaszły, że więc warunkujesz względem zbioru \(\displaystyle{ A}\), co przenosi się na zbiór po którym całkujesz. Możesz o tym myśleć tak: wcześniej liczyłeś średnią po całej przestrzeni, teraz liczysz średnią po zbiorze zdarzeń, które wiesz, że zaszły, czyli
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X \vert A) = \frac{1}{\mathbb{P}(A)}\int_{A} X\mbox{d}\mathbb{P}}\).
To jest o tyle fajne, że pozwala to uogólnić na wartości oczekiwane, gdzie warunkujesz nie względem jednego zbioru, a całej rodziny zbiórów lub sigma ciała.
Co do samej całki - liczenie jej, jest takie same, jak w przypadku liczenia zwykłej średniej. Jeśli masz do czynienia ze zmienna dyskretną (wtedy z całki robi się suma) lub ciągłą z gęstością (wtedy z tej dziwnej całki, robi się prostsza całka względem '\(\displaystyle{ \mbox{d}x}\)'), to jest w miarę prosto.
Co do Twojego przykładu, obliczyłeś go jak najbardziej poprawnie. W książce liczą inaczej, bo bazują bardziej na tej definicji, którą napisałeś. Ale z odrobiną teorii miary, podobnie jak w przypadku zwykłej wartości oczekiwanej, ta całka zamieni się na następującą sumę:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X \vert A) = \frac{1}{\mathbb{P}(A)}\left( 1\cdot \mathbb{P}(X = 1 \cap A) + 2\cdot\mathbb{P}(X = 2 \cap A)\right) = \frac{1}{1/2} \left(1\cdot 1/4 + 2 \cdot 1/4\right) = \frac{3}{2} }\).
Zauważ, że jeśli uwzględnisz też przypadek \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=0 \cap A)}\), który w książce nie jest uwzględniony, bo jak jesteśmy na zbiorze \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ X}\) nie może byc równe zero oraz wrzucisz \(\displaystyle{ \frac{1}{\mathbb{P}(A)}}\) pod nawias i zwiniesz to do prawdodpobieństwa warunkowego, to dostaniesz dokładnie takie same obliczenia, które zrobiłeś sam.
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \frac{1}{\mathbb{P}(\Omega)}\int_{\Omega} X\mbox{d}\mathbb{P}}\).
Różnica jest taka, że teraz wiesz, że jakieś zdarzenia (zbiór \(\displaystyle{ A}\)) zaszły, że więc warunkujesz względem zbioru \(\displaystyle{ A}\), co przenosi się na zbiór po którym całkujesz. Możesz o tym myśleć tak: wcześniej liczyłeś średnią po całej przestrzeni, teraz liczysz średnią po zbiorze zdarzeń, które wiesz, że zaszły, czyli
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X \vert A) = \frac{1}{\mathbb{P}(A)}\int_{A} X\mbox{d}\mathbb{P}}\).
To jest o tyle fajne, że pozwala to uogólnić na wartości oczekiwane, gdzie warunkujesz nie względem jednego zbioru, a całej rodziny zbiórów lub sigma ciała.
Co do samej całki - liczenie jej, jest takie same, jak w przypadku liczenia zwykłej średniej. Jeśli masz do czynienia ze zmienna dyskretną (wtedy z całki robi się suma) lub ciągłą z gęstością (wtedy z tej dziwnej całki, robi się prostsza całka względem '\(\displaystyle{ \mbox{d}x}\)'), to jest w miarę prosto.
Co do Twojego przykładu, obliczyłeś go jak najbardziej poprawnie. W książce liczą inaczej, bo bazują bardziej na tej definicji, którą napisałeś. Ale z odrobiną teorii miary, podobnie jak w przypadku zwykłej wartości oczekiwanej, ta całka zamieni się na następującą sumę:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X \vert A) = \frac{1}{\mathbb{P}(A)}\left( 1\cdot \mathbb{P}(X = 1 \cap A) + 2\cdot\mathbb{P}(X = 2 \cap A)\right) = \frac{1}{1/2} \left(1\cdot 1/4 + 2 \cdot 1/4\right) = \frac{3}{2} }\).
Zauważ, że jeśli uwzględnisz też przypadek \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=0 \cap A)}\), który w książce nie jest uwzględniony, bo jak jesteśmy na zbiorze \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ X}\) nie może byc równe zero oraz wrzucisz \(\displaystyle{ \frac{1}{\mathbb{P}(A)}}\) pod nawias i zwiniesz to do prawdodpobieństwa warunkowego, to dostaniesz dokładnie takie same obliczenia, które zrobiłeś sam.
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Warunkowa wartość oczekiwana
O wreszcie porządne wytłumaczenie! To rozumiem 
.
Mi nigdy nie tłumaczyli na studiach, że to się to się tak zamienia, że jak zmienna dyskretna to suma, a jak ciągła to prostsza całką z gęstością, a sam bym się tego nie domyślił, a to powinno być właśnie wyraźnie powiedziane, tak uważam. Rodziny zbiorów i sigma ciała to na razie dla mnie za wysokie progi, ale na razie wystarczy mi świadomość jak to się liczy względem jednego zbioru. Wielkie dzięki za wytłumaczenie!
. Mi nigdy nie tłumaczyli na studiach, że to się to się tak zamienia, że jak zmienna dyskretna to suma, a jak ciągła to prostsza całką z gęstością, a sam bym się tego nie domyślił, a to powinno być właśnie wyraźnie powiedziane, tak uważam. Rodziny zbiorów i sigma ciała to na razie dla mnie za wysokie progi, ale na razie wystarczy mi świadomość jak to się liczy względem jednego zbioru. Wielkie dzięki za wytłumaczenie!