Wyznacz wariancję

[Tmkk]

Jesteś pewny, że \(\displaystyle{ Var(X \vert \lambda) = \frac{2}{\lambda}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{6}{\lambda}}\)?

Zadanie nie takie koszmarne, ale jak się nie zacznie dobrze, to można się niezle zamieszać w tych napisach.

[max123321]

Tak, masz rację \(\displaystyle{ \frac{6}{\lambda} }\) powinno być, mój błąd. A jak liczyłeś tą wariancję warunkową \(\displaystyle{ VarX|\lambda}\)? Bo ja ze wzoru na wariancję złożonego rozkładu Poisson czyli:
\(\displaystyle{ VarX|\lambda=\lambda E(Y_1|\lambda)^2}\) i teraz \(\displaystyle{ E(Y|\lambda)^2}\) policzyłem z przekształcenia wzoru \(\displaystyle{ Var(Y_1|\lambda)=E(Y_1|\lambda)^2-(EY_1|\lambda)^2}\), czyli \(\displaystyle{ E(Y_1|\lambda)^2=Var(Y_1|\lambda)+(EY_1|\lambda)^2=2/\lambda^2+4/\lambda^2=6/\lambda^2}\), czyli \(\displaystyle{ Var(X|\lambda)= \frac{6}{\lambda} }\), może da się to jakoś prościej wyliczyć?

Czyli ostatecznie wyszło mi \(\displaystyle{ VarX=30}\), Tobie też tak wyszło?

[Tmkk]

Tak, też mi tyle wyszło.

Jak już wiesz, że \(\displaystyle{ Var(X \vert \lambda) = \lambda\mathbb{E}(Y_1^2 \vert \lambda)}\), to mozesz po prostu policzyć całkę, bo znasz gęstość warunkową \(\displaystyle{ Y \vert \lambda}\), czyli

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(Y_1^2 \vert \lambda) = \int_{0}^\infty y^2f_{Y \vert \lambda}(y)\mbox{d}y = \int_{0}^\infty \lambda^2 y^3 e^{-\lambda y}\mbox{d}y = \frac{6}{\lambda^2}}\),

wszystko jest jeszcze mnożone przez lambdę, więc wychodzi na to samo.