Obliczanie prawdopodobieństwa odebranego bitu

[eldamiano22]

Witam wszystkich.

Borykam się z zadaniem, którego treścią jest, że mamy nadajnik, który przekazuje odbiornikowi ciąg bitów. Możliwe są przekłamania w tym przekazie bitów niezależnie od innych, zgodnie z prawdopodobieństwami warunkowymi, które podaje poniższa tabelka.

\(\displaystyle{
\begin{array}{ccc}
n\backslash o & 0 & 1 \\
0 & 0,9 & 0,1 \\
1 & 0,2 & 0,8 \\
\end{array}
}\)

Nie wiem jak zrobić poprawnie tabelkę i mam nadzieję, że będzie czytelna.
Chodzi w niej o to, że prawdopodobieństwo przy nadaniu \(\displaystyle{ 0}\) np. że zamieni się na \(\displaystyle{ 1}\) wynosi \(\displaystyle{ 0,1}\), a że się nie zmieni wynosi \(\displaystyle{ 0,9}\).
Tak samo w przypadku przy nadawaniu 1. Prawdopodobieństwo, że nadajnik przekłamie wynosi \(\displaystyle{ 0,2}\), a że nie wynosi \(\displaystyle{ 0,8}\).

Mam za zadanie obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba odebrana ma być większa niż liczba nadana. W moim przypadku nadaje liczbę \(\displaystyle{ 72}\).

Binarnie \(\displaystyle{ 72 \Rightarrow 1001000}\) (treść zadania kazała rozpatrzeć tylko 7 bitów)

Czy zadanie mam zrobić w taki sposób, że rozpatruję kilka przypadków:

\(\displaystyle{ 1001001 \Rightarrow 0,8 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1\\
1001010 \Rightarrow ...\\
1001011 \Rightarrow ...\\
...}\)

Coś czuję, że źle rozmyślam..

Prosiłbym o pomoc w zrozumieniu i rozwiązaniu zadania.

[kerajs]

Mam za zadanie obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba odebrana ma być większa niż liczba nadana. W moim przypadku nadaje liczbę 72.

Binarnie 72 => 1001000 (treść zadania kazała rozpatrzeć tylko 7 bitów)

Odebrana liczba będzie większa od nadanej gdy pierwszy (od lewej) bit będzie odebrany prawidłowo i co najmniej jeden z dwóch kolejnych odebrany będzie błędnie lub 4 pierwsze bity prawidłowe, a co najmniej jeden z trzech ostatnich błędnie

wynik:    

\(\displaystyle{ P=0,8(1-0,9^2) +0,8^20,9^2(1-0,9^3)}\)

[eldamiano22]

Dziękuję za odpowiedź. Miałbym pytanie, dlaczego od jedynki odejmujemy podniesioną do potęgi liczbę \(\displaystyle{ 0,9}\), a np. nie robimy tak:

\(\displaystyle{ P=0,8(0,1^2) +0,8^20,9^2(0,1^3)}\)

Dodano po 2 godzinach 49 minutach 1 sekundzie:
Mam rozumieć to tak, że \(\displaystyle{ (1−0,9^2)}\) oznacza, że obliczamy prawdopodobieństwo tego, że nadajnik nie przekłamie i liczymi zdarzenie przeciwne. Dlatego odejmujemy od \(\displaystyle{ 1}\)?

Dodano po 1 godzinie 53 minutach 3 sekundach:
A jeszcze chciałbym zapytać co w przypadku jak mam, że liczba odebrana będzie większa bądź równa liczbie nadanej?
To jeszcze dodajemy przypadek gdy zadna się liczba nie zmieni?

\(\displaystyle{ P=0,8\cdot (1-0,9^2) +0,8^2\cdot 0,9^2(1-0,9^3)+0,9^5\cdot 0,8^2}\)

[kerajs]

Dziękuję za odpowiedź. Miałbym pytanie, dlaczego od jedynki odejmujemy podniesioną do potęgi liczbę 0,9, a np. nie robimy tak:

\(\displaystyle{ P=0,8(0,1^2) +0,8^20,9^2(0,1^3)}\)

Gdyż:
a) iloczyn \(\displaystyle{ 0,8(0,1^2) }\) oznacza że po pierwszym poprawnie odczytanym bicie, dwa kolejne były błędnie odczytane (zamiast ''co najmniej jeden z'' nich)
Powinno być \(\displaystyle{ 0,8 \cdot 0,1 \cdot 0,9+0,8 \cdot 0,9 \cdot 0,1+0,8(0,1^2) }\)
czyli z pierwszych trzech tylko drugi był błędny + tylko trzeci był błędny+ drugi i trzeci był błędny
b) analogicznie iloczyn \(\displaystyle{ 0,8^20,9^2(0,1^3)}\) oznacza błędność trzech ostatnich bitów, choć miało być ''co najmniej jeden z trzech ostatnich''
Tu rozpisanie da 7 przypadków.

Mam rozumieć to tak, że \(\displaystyle{ (1−0,9^2)}\) oznacza, że obliczamy prawdopodobieństwo tego, że nadajnik nie przekłamie i liczymi zdarzenie przeciwne. Dlatego odejmujemy od 1?

Tak. Ja po prostu jestem leniwy i zamiast 3 i 7 przypadków załatwiałem je zdarzeniami przeciwnymi.

A jeszcze chciałbym zapytać co w przypadku jak mam, że liczba odebrana będzie większa bądź równa liczbie nadanej?
To jeszcze dodajemy przypadek gdy zadna się liczba nie zmieni?
\(\displaystyle{ P=0,8*(1-0,9^2) +0,8^2*0,9^2(1-0,9^3)+0,9^5*0,8^2}\)

Tak, należy dodać tę sytuację.

[eldamiano22]

Bardzo dziękuję w zrozumieniu zadania.
Pozdrawiam.