Zmienne losowe

[fiflo]

Dwie ściany sześciennej kostki pomalowano na czerwono, a pozostałe na zielono. Rzucamy kostką 3 razy. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę rzutów, w których wypadł kolor czerwony. Wyznacz rozkład, dystrybuantę, wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe \(\displaystyle{ X}\).

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ cz}\) - czerwony
\(\displaystyle{ z}\) - zielony

\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}
z & z & z \\
cz & z & z \\
z & cz & z \\
z & z & cz \\
cz & cz & z \\
cz & z & cz \\
z & cz & cz \\
cz & cz & cz \\
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}
X_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 \\
P_{i} & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \\
F(x) & 0 & \frac{1}{8} & \frac{4}{8} & \frac{7}{8} \\
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ E(x) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} \cdot 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} +\frac{3}{8}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}}\)

\(\displaystyle{ σ^2=\frac{(\frac{1}{8}-\frac{2}{8})^2+(\frac{3}{8}-\frac{2}{8})^2+(\frac{3}{8}-\frac{2}{8})^2+(\frac{1}{8}-\frac{2}{8})^2}{4}=\frac{\frac{4}{8}}{4}=\frac{1}{8}}\)

\(\displaystyle{ σ= \sqrt{0,125} }\)

[kerajs]

Mi wychodzi tak:

\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}
X_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 \\
P_{i} & \frac{8}{27} & \frac{12}{27} & \frac{6}{12} & \frac{1}{27}
\end{array}}\)

[pesel]

Suma większa od jedynki?

[kerajs]

Dziękuję za wyłapanie literówki.

Miało być:
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}
X_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 \\
P_{i} & \frac{8}{27} & \frac{12}{27} & \frac{6}{27} & \frac{1}{27}
\end{array}}\)

[fiflo]

Dziękuję za wyłapanie literówki.

Miało być:
\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}
X_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 \\
P_{i} & \frac{8}{27} & \frac{12}{27} & \frac{6}{27} & \frac{1}{27}
\end{array}}\)

dlaczego akurat 27?

[kerajs]

Błędnie założyłeś, iż każde z ośmiu wypisanych zdarzeń jest jednakowo prawdopodobne.
Szanse wylosowania ściany zielonej to \(\displaystyle{ \frac{2}{6}}\) , a wylosowania ściany czerwonej to \(\displaystyle{ \frac{4}{6}}\).
Przykładowo, prawdopodobieństwo uzyskania trzech wyników zielonych to \(\displaystyle{ P(z,z,z)= (\frac{2}{6})^3=\frac{8}{27} }\) zamiast wcześniejszej \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\). Podobnie jest z pozostałymi zdarzeniami.

[fiflo]

Błędnie założyłeś, iż każde z ośmiu wypisanych zdarzeń jest jednakowo prawdopodobne.
Szanse wylosowania ściany zielonej to \(\displaystyle{ \frac{2}{6}}\) , a wylosowania ściany czerwonej to \(\displaystyle{ \frac{4}{6}}\).
Przykładowo, prawdopodobieństwo uzyskania trzech wyników zielonych to \(\displaystyle{ P(z,z,z)= (\frac{2}{6})^3=\frac{8}{27} }\) zamiast wcześniejszej \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\). Podobnie jest z pozostałymi zdarzeniami.

No dobrze.
Ale skąd to 27?

Mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{6}\right) ^{3}= \frac{8}{216}= \frac{1}{27} }\)

[a4karo]

Bo się kerajs pomylił. Zdarza się.

Inna sprawa, że zwykle lepiej najpierw uprościć, a potem wykonywać działania: \(\displaystyle{ \left(\frac{2}{6}\right)^3=\left(\frac{1}{3}\right)^3=...}\)

[kerajs]

Popełniłem też poważniejszy błąd zliczając ilość rzutów zielonych , zamiast czerwonych. Sorry.

\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc}
X_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 \\
P_{i} & \frac{1}{27} & \frac{6}{27} & \frac{12}{27} & \frac{8}{27}
\end{array}}\)