Liczba szkód \(\displaystyle{ N}\) z pewnego ryzyka ma rozkład Poissona z wart. oczekiwaną równą \(\displaystyle{ \lambda}\) rocznie. Wartości szkód \(\displaystyle{ Y_i}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie ciągłym, niezależnymi także od liczby szkód. W związku z istniejącym systemem zniżek ubezpieczony przyjmuje następującą strategię zgłaszania szkód w ciągu roku:
-nie zgłasza szkód, dopóki wartość którejś z nich nie przekroczy liczby \(\displaystyle{ x_0}\)
-jeśli wartość którejś szkody przekroczy liczbę \(\displaystyle{ x_0}\), to jest ona zgłaszana, a następne(ewentualne) szkody zgłaszane są już bez względu na ich wartość.
Przyjmujemy założenie, iż decyzje o niezgłaszaniu szkód są nieodwołalne, a więc jeśli szkoda \(\displaystyle{ n}\)-ta nie została zgłoszona, to nie można tego zmienić po zajściu \(\displaystyle{ (n+1)}\)-szej szkody.
Oznaczmy dla uproszczenia przez \(\displaystyle{ F}\) prawdopodobieństwo, iż wartość szkody nie przekroczy liczby \(\displaystyle{ x_0}\), zaś przez \(\displaystyle{ K}\) liczbę szkód, które zaszły, ale których ubezpieczony nie zgłosił ubezpieczycielowi. Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennej \(\displaystyle{ K}\).
Wskazówka: Wyznacz najpierw \(\displaystyle{ P(K=k|N=n)}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,...,n}\). Sprawdź czy uzyskany wzór jest poprawny dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,...}\) Policz teraz \(\displaystyle{ E(K=k|N=n)}\). Uzyskany szereg powinien się ładnie zwinąć. Sprawdź, czy uzyskany wzór jest poprawny dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,...}\). Wreszcie skorzystaj ze wzoru na iterowaną wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ E(K)=E\left\{ E(K|N)\right\} }\)- tutaj znowu uzyskasz szereg, który się ładnie zwija. Ostatecznie otrzymasz wzór będący prostą funkcją parametrów \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ \lambda}\).
Jak to zrobić? We wskazówce każą najpierw znaleźć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(K=k|N=n)}\), ale mnie się wydaje, że zmienne \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ N}\) są niezależne, więc to prawdopodobieństwo będzie po prostu równe \(\displaystyle{ F^k(1-F)}\), ale pewnie coś źle myślę. Może ktoś pomóc?