Załóżmy, że zmienne \(\displaystyle{ N,M_1,M_2,M_3,...}\) powiązane ze zmienną \(\displaystyle{ K}\) zależnością \(\displaystyle{ K=M_1+M_2+...+M_N}\), spełniają założenia rozkładu złożonego. Zmienna \(\displaystyle{ M_i}\) ma rozkład dwumianowy:
\(\displaystyle{ P(M_i=1)=Q}\) oraz \(\displaystyle{ P(M_i=0)=P}\), \(\displaystyle{ Q \in (0,1)}\), \(\displaystyle{ P=1-Q}\)
Przyjmujemy następującą interpretację zmiennych zadania:
\(\displaystyle{ N}\) to liczba roszczeń zgłoszonych z pewnego ryzyka
\(\displaystyle{ M_j}\) to zmienna, która przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\) o ile roszczenie \(\displaystyle{ j}\)-te zostało uznane przez ubezpieczyciela, zaś \(\displaystyle{ 0}\) jeśli zostało oddalone
Wobec tego z ogólnej liczby \(\displaystyle{ N}\) roszczeń zgłoszonych z tego ryzyka \(\displaystyle{ K}\) to liczba roszczeń uznanych, zaś \(\displaystyle{ (N-K)}\) to liczba roszczeń oddalonych
a) Wykaż, że jeśli zmienna \(\displaystyle{ N}\) ma rozkład Poissona (\(\displaystyle{ \lambda}\)), to zmienna \(\displaystyle{ (N-K)}\) ma także rozkład Poissona z odpowiednio zmodyfikowanymi parametrami.
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?