Portfel ryzyk składa się z dwóch niezależnych subportfeli. Niech \(\displaystyle{ N_1,N_2}\) oznaczają odpowiednio liczbę szkód, zaś \(\displaystyle{ W_1,W_2}\) wartość szkód, odpowiednio z subportfela pierwszego i drugiego. Pojedyncze ryzyko w każdym z subportfeli może wygenerować co najwyżej jedną szkodę. Zmienne \(\displaystyle{ N_1,N_2}\) mają rozkłady dwumianowe, zaś zmienne \(\displaystyle{ W_1,W_2}\) rozkłady złożone dwumianowe, o dystrybuantach wartości pojedynczej szkody oznaczonych przez \(\displaystyle{ F_1,F_2}\) odpowiednio. Aproksymujemy łączną liczbę i łączną wartość szkód z obu subportfeli na dwa sposoby:
Pierwszy sposób polega, na tym, że sumę zmiennych \(\displaystyle{ (N_1+N_2)}\) aproksymujemy za pomocą zmiennej \(\displaystyle{ \overline{N}}\) o rozkładzie dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ (n,q)}\), zaś sumę zmiennych \(\displaystyle{ (W_1+W_2)}\) za pomocą zmiennej \(\displaystyle{ \overline{W}}\) o rozkładzie złożonym dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ (n,q,F)}\), gdzie:
\(\displaystyle{ n=n_1+n2, q= \frac{n_1q_1+n_2q_2}{n},\forall x \in \RR : F(x)= \frac{n_1q_1F_1(x)+n_2q_2F_2(x)}{n_1q_1+n_2q_2} }\)
Drugi sposób polega na tym, że sumę zmiennych \(\displaystyle{ (N_1+N_2)}\) aproksymujemy za pomocą zmiennej \(\displaystyle{ \widetilde{N}}\) o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\), zaś sumę zmiennych \(\displaystyle{ (W_1+W_2)}\) za pomocą zmiennej \(\displaystyle{ \widetilde{W}}\) o rozkładzie złożonym Poissona z parametrami \(\displaystyle{ (\lambda , F)}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda = n_1q_1+n_2q_2}\), zaś dystrybuantę \(\displaystyle{ F}\) wyznaczamy tak samo jak powyżej.
Pytania:
c) Znajdź wzór na różnicę \(\displaystyle{ Var(\overline{W})-Var(W_1+W_2)}\) jako funkcję parametrów zadania \(\displaystyle{ (n_1,q_1,m_{1,1},m_{1,2},n_2,q_2,m_{2,1},m_{2,2})}\). Sprowadź go do możliwie prostej postaci, tak aby było oczywiste, że różnica ta jest zawsze nieujemna(a na ogół dodatnia).
d) Znajdź wzór na różnicę \(\displaystyle{ Var(\widetilde{W})-Var(\overline{W})}\) jako funkcję parametrów zadania \(\displaystyle{ (n_1,q_1,m_{1,1},m_{1,2},n_2,q_2,m_{2,1},m_{2,2})}\). Sprowadź go do możliwie prostej postaci, tak aby było oczywiste, że różnica ta jest zawsze nieujemna(a na ogół dodatnia).
Jak policzyć podpunkt c), a dokładniej tą wariancję \(\displaystyle{ \overline{W}}\)?