Złożony rozkład Poissona

[max123321]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest sumą trzech niezależnych zmiennych losowych o rozkładach złożonych Poissona z parametrami odpowiednio \(\displaystyle{ (\lambda_1,F_1),(\lambda_2,F_2),(\lambda_3,F_3)}\). Wartości parametrów częstotliwości to \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3}\) oraz dystrybuanty \(\displaystyle{ F_1,F_2,F_3}\) dane są wzorami:
\(\displaystyle{ \begin{array}{c|c|c|c|c}
i & \lambda_i & F_i (x) \text{ dla } x<1 & F_i (x) \text { dla } x \in \left[ 1,2\right) & F_i (x) \text{ dla } x \ge 2 \\
1 & 1 & 0 & 0,4 & 1\\
2 & 0,5 & 0 & 0,7 & 1\\
3 & 0,5 & 0 & 0,9 & 1\\
\end{array}}\)
Oblicz \(\displaystyle{ P(X=3)}\). Podaj wynik w postaci \(\displaystyle{ ae^b}\). Wskazówka: Zastosuj twierdzenie o dodawaniu dla klasy złożonych rozkładów Poissona. Bez tego zagrzebiesz się w rachunkach.

Może mi ktoś dać wskazówki jak to zrobić? Na przykład jak brzmi to twierdzenie ze wskazówki?

[janusz47]

Twierdzenie

Jeżeli \(\displaystyle{ S_{i}, \ \ i = 1,2,...n }\) są niezależnymi zmiennymi losowymi i \(\displaystyle{ S_{i} }\) ma złożony rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_{i} }\) o dystrybuancie składników \(\displaystyle{ F_{i}, \ \ ( CPoisson(\lambda_{i}, F_{i}) }\) dla \(\displaystyle{ i =1,2,...n, }\) to \(\displaystyle{ S_{N} = \sum_{i=1}^{n} S_{i} }\) ma rozkład złożony Poissona \(\displaystyle{ CPoisson( \lambda, f ) }\) dla \(\displaystyle{ \lambda = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} }\) i \(\displaystyle{ f(x) = \sum_{i=1}^{n}\frac{\lambda_{i}}{\lambda} f_{i}(x).}\)

Dodano po 31 minutach 26 sekundach:
Dla każdej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i= 1, 2, 3 }\) o rozkładzie Poissona oblicz:

- na podstawie dystrybuanty - rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p^{i}_{k}, i = 1,2,3, \ \ k = 1,2,3, }\)

- dla każdego rozkładu prawdopodobieństwa - wartość gęstości łącznej \(\displaystyle{ f_{i},\ \ i = 1,2,3, }\)

- na podstawie wzoru zawartego w twierdzeniu - gęstość \(\displaystyle{ f }\) sumy zmiennych losowych \(\displaystyle{ X = X_{1}+X_{2}, +X_{3}.}\)

- wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(\{ X = 3\}). }\)

[max123321]

No to policzyłem rozkład \(\displaystyle{ X_1}\): \(\displaystyle{ P(x \in \RR \setminus \left\{ 1,2\right\} =0, P(x=1)=0,4, P(x=2)=0,6}\)
\(\displaystyle{ X_2}\):\(\displaystyle{ P(x \in \RR \setminus \left\{ 1,2\right\} =0, P(x=1)=0,7, P(x=2)=0,3}\)
\(\displaystyle{ X_3}\):\(\displaystyle{ P(x \in \RR \setminus \left\{ 1,2\right\} =0, P(x=1)=0,9, P(x=2)=0,1}\)

A co to jest ta gęstość łączna? skoro mamy tu zmienne dyskretne. Tu będą jakieś zabawy z deltami Diraca?

[janusz47]

Wersja twierdzenia dla zmiennej losowej dyskretnej
Twierdzenie

Jeżeli \(\displaystyle{ S_{i}, \ \ i = 1,2,...n }\) są niezależnymi zmiennymi losowymi i \(\displaystyle{ S_{i} }\) ma złożony rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_{i} }\) o dystrybuancie składników \(\displaystyle{ F_{i}, \ \ ( CPoisson(\lambda_{i}, F_{i}) }\) dla \(\displaystyle{ i =1,2,...n, }\) to \(\displaystyle{ S_{N} = \sum_{i=1}^{n} S_{i} }\) ma rozkład złożony Poissona \(\displaystyle{ CPoisson( \lambda, F) }\) dla \(\displaystyle{ \lambda = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} }\) i \(\displaystyle{ F(x) = \sum_{i=1}^{n}\frac{\lambda_{i}}{\lambda} F_{i}(x).}\)

[max123321]

No to co chyba po prostu policzę tą \(\displaystyle{ \lambda=2}\) i \(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \text{ dla } x<1 \\ 0,6 \text{ dla } 1 \le x<2 \\ 1 \text{ dla } x \ge 2 \end{cases} }\), w ten sposób?

No, ale to jak mam teraz policzyć to \(\displaystyle{ P(X=3)}\), coś mi się tu nie zgadza.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \lambda = 2 }\), Ok! Nie bardzo rozumiem, jak policzyłeś łączną dystrybuantę\(\displaystyle{ F. }\)

[max123321]

Hmm skoro tak mówisz, to pewnie źle policzyłem . Liczyłem w ten sposób:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{i=1}^{n}\frac{\lambda_{i}}{\lambda} F_{i}(x)}\)
No i teraz rozbiłem na trzy przedziały tą dystrybuantę: \(\displaystyle{ x<1,1 \le x<2,x \ge 2}\) i w pierwszym przedziale są same zera więc w tej końcowej dystrybuancie też będzie zero, a w drugim przedziale przemnożyłem przez odpowiednie współczynniki te trzy dystrybuanty i zsumowałem i wyszło 0,6. A w trzecim przedziale są same jedynki, więc na końcu dostałem jedynkę. Ale to jest pewnie źle bo by to za prosto było. Jak to należy policzyć?

[janusz47]

Pozostańmy przy wyznaczonych rozkładach prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ (x^{(k)}_{i}, p_{i}), \ \ i, k = 1,2,3 }\) wyznaczonych dla każdej z dystrybuant osobno.

Na podstawie powyższego twierdzenia i rozkładów prawdopodobieństwa, wyznaczamy sumę łączną:

\(\displaystyle{ S = \sum_{i=1}^{3} x^{(1)}_{i} + \sum_{i=1}^{3}x^{(2)}_{i} + \sum_{i=1}^{3}x^{(3)}_{i} }\)

Zmienna losowa \(\displaystyle{ S }\) ma rozkład złożony Poissona \(\displaystyle{ CPoisson( \lambda, F) }\) dla \(\displaystyle{ \lambda = \lambda_{1}+\lambda_{2}+ \lambda_{3}. }\)

Na podstawie wyznaczonej sumy łącznej \(\displaystyle{ S }\), obliczamy dystrybuantę łączną według wzoru:

\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{i=1}^{3} \frac{\lambda}{\lambda_{i}} \textbf I_{[x_{i}, \infty)}(x) }\)

Wtedy

\(\displaystyle{ Pr(\{ X \leq 3\}) = F(3). }\)

[max123321]

No, ale te rozkłady dobrze wyznaczyłem tam wcześniej?

Co to jest to \(\displaystyle{ x_i^{(k)}}\)?

[janusz47]

To są sumy wartości rozkładów z prawdopodobieństwami \(\displaystyle{ p_{i}. }\)

[max123321]

Znaczy to \(\displaystyle{ x_i^{(k)}}\) to jest chyba wartość zmiennej losowej \(\displaystyle{ i}\)-tej w punkcie \(\displaystyle{ k}\). Czyli na przykład \(\displaystyle{ x_1^{(1)}=1}\), zgadza się?

[janusz47]

Zgadza się.

[max123321]

No, ale to w takim razie nie widzę zbytnio sensu w tym liczeniu \(\displaystyle{ S}\). Bo na przykład \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{3}x_i^{(1)}=1+1+1=3 }\). A to chyba nie o to chodzi?

[janusz47]

Oblicz sumy dla pozostałych \(\displaystyle{ \lambda. }\) i uwzględnij każdą jako \(\displaystyle{ x_{i}}\) we wzorze na dystrybuantą łączną \(\displaystyle{ F.}\)

[max123321]

Nie no nie rozumiem. Liczę \(\displaystyle{ S=1+1+1+2+2+2+3+3+3=18}\), tylko to trochę dziwne bo \(\displaystyle{ S}\) to chyba zmienna losowa, a nie liczba, ale dobra...

A dalej w tym wzorze na dystrybuantę nie wiem jak policzyć \(\displaystyle{ \textbf I_{[x_{i}, \infty)}(x)}\).