Funkcja tworząca momenty-rozkład normalny

[max123321]

Wyznacz funkcję generującą momenty dla rozkładu normalnego o gęstości danej dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{ \sqrt{2\pi} \sigma }e^{ \frac{(x-\mu)^2}{-2\sigma^2} } }\)

Mam policzyć:
\(\displaystyle{ M(t)= \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{ \sqrt{2\pi} \sigma }e^{ \frac{(x-\mu)^2}{-2\sigma^2} } \dd x }\),
ale wiem jak to zrobić. Może ktoś pomóc?

[Tmkk]

Połącz eksponenty i spróbuj zapisać powstałe tam wyrażenie, czyli \(\displaystyle{ \frac{-(x - \mu)^2}{2\sigma^2} + tx}\), jako \(\displaystyle{ \frac{-(x - \hbox{coś})^2}{2\sigma^2} + \mbox{coś, co nie zależy od x}}\).

Wówczas ten drugi składnik możesz sobie wyłaczyć przed całkę a to, co zostanie, wycałkuje się do jedynki.

[max123321]

Ok w takim razie dostałem:
\(\displaystyle{ M(t)=e^{\mu t+1/2\sigma^2 t^2} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{ \sqrt{2\pi} \sigma }e^{ \frac{(x-(\mu +\sigma^2 t))^2}{-2\sigma^2} } \dd x }\)
Czy tak jest dobrze?
I ta dziwna całka równa się jeden?, ale dlaczego skoro ten wykładnik się zmienił? Czy to niezależnie od wykładnika zawsze się równa jeden?
No dobra i to by znaczyło, że:
\(\displaystyle{ M(t)=e^{\mu t+1/2\sigma^2 t^2}}\)

[Tmkk]

Tak jest dobrze.

Ta całka jest równa jeden, bo to jest gęstość rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu + \sigma^2t, \sigma^2)}\). Ewentualnie, jeśli wiesz / wierzysz, że wyjściowa funkcja, którą napisałeś na początku zadania jest gęstością, to wystarczy teraz w tym, co Ci wyszło, zrobić postawienie \(\displaystyle{ y = x - \sigma^2t}\). Dostaniesz wtedy dokładnie całkę z \(\displaystyle{ f}\).