Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: max123321 »

Wyznacz funkcję tworzącą momenty dla rozkładu Gamma o gęstości określonej dla \(\displaystyle{ x>0}\) wzorem:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} }\).

No to zacząłem liczyć tak:
\(\displaystyle{ M_X(t)=E(e^{tx})= \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\beta x} \dd x }\)
jednak nie mam pojęcia co z tym dalej zrobić, może ktoś pomóc?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: Tmkk »

A czy wiesz dlaczego \(\displaystyle{ \int_{0}^\infty f(x) = 1}\)?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: janusz47 »

Wyłączamy \(\displaystyle{ \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}}\) przed znak całki i łączymy potęgi z \(\displaystyle{ e, }\) wyłączając minus przed nawias.

Dokonujemy w całce podstawienie \(\displaystyle{ y = (\beta - t)\cdot x }\)

Uwzględniamy pytanie Tmkk, bo \(\displaystyle{ f(x) }\) jest funkcją gęstości rozkładu \(\displaystyle{ \Gamma(\alpha, \beta) }\) - zmieniamy granice całkowania na od \(\displaystyle{ 0, }\) do \(\displaystyle{ \infty. }\)
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: max123321 »

Niestety nie wiem dlaczego \(\displaystyle{ \int_{0}^\infty f(x) = 1}\), proszę zatem o pomoc.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: Janusz Tracz »

max123321 pisze: 21 gru 2020, o 18:28 Niestety nie wiem dlaczego \(\displaystyle{ \int_{0}^\infty f(x) = 1}\), proszę zatem o pomoc.
Bo \(\displaystyle{ f}\) to gęstość prawdopodobieństwa.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: max123321 »

Dobra to to wiem, ale dlaczego całka z gęstości rozkładu Gamma jest równa jeden to nie wiem jak to pokazać.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: Janusz Tracz »

Trzeba policzyć. Jeśli \(\displaystyle{ \beta >0}\) (co chyba jest naturalnym założeniem dla tego rozkłądu) to

\(\displaystyle{

\begin{align*}
\int_{0}^{ \infty }f(x) \dd x &= \int_{0}^{ \infty }\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} \dd x \\

&= \int_{0}^{ \infty }\frac{\beta^{\alpha-1}}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} \dd \left( \beta x\right) \\

&= \frac{1}{\Gamma (\alpha)} \int_{0}^{ \infty }\left( \beta x\right) ^{\alpha-1}e^{-\beta x} \dd \left( \beta x\right)\\

&=\frac{1}{\Gamma (\alpha)} \int_{0}^{ \infty } \clubsuit ^{\alpha-1}e^{-\clubsuit } \dd \clubsuit =\frac{\Gamma (\alpha)}{\Gamma (\alpha)}=1



\end{align*} }\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} f(x) dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \cdot e^{-\beta\cdot x} dx = | podstawienie \ \ \beta \cdot x = y | = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^{\alpha} }\int _{0}^{\infty} y^{\alpha -1}\cdot e^{-y} dy =\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha)} = 1.}\)

Dodano po 21 minutach 40 sekundach:
\(\displaystyle{ M(t) = E(e^{t\cdot X}) = \int_{0}^{\infty} e^{t\cdot x} \cdot \beta^{\alpha}\cdot x^{\alpha -1}e^{-\beta \cdot x} dx = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty}x^{\alpha -1}e^{-(\beta -t)\cdot x} dx = [ podstawienie \ \ y:= (\beta-t)\cdot x ] =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{y}{\beta -t}\right)^{\alpha -1}\cdot e^{-y}\frac{1}{\beta -t}dy = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \cdot \frac{1}{(\beta - t)^{\alpha}} \int_{0}^{\infty} y^{\alpha -1}\cdot e^{-y} dy = \frac{\beta^{\alpha}}{(\beta-t)^{\alpha}}\cdot \frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha)} = \frac{\beta^{\alpha}}{(\beta -t)^{\alpha}} = \left( \frac{\beta}{\beta -t}\right)^{\alpha}, \ \ \beta> t. }\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: Janusz Tracz »

Poza tym całka
max123321 pisze: 21 gru 2020, o 09:06 \(\displaystyle{ M_X(t)=E(e^{tx})= \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\beta x} \dd x }\)
powinna być po \(\displaystyle{ \left[ 0, \infty \right) }\) a nie całym \(\displaystyle{ \RR}\). Wtedy można zauważyć, że to co masz policzyć to pewna transformata Laplace’a:

\(\displaystyle{ \begin{align*}

\int_{0}^{ \infty }e^{tx} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\beta x} \dd x

& = \frac{ \beta ^ \alpha }{\Gamma (\alpha)} \int_{0}^{ \infty } x^{ \alpha -1}e^{-\left( \beta -t\right)x } \dd x \\

&= \frac{ \beta ^ \alpha }{\Gamma (\alpha)} \cdot \left( \mathscr{L} x^{ \alpha -1}\right) \left( s\right)\Bigg|_{s= \beta -t} \\

&= \frac{ \beta ^ \alpha }{\Gamma (\alpha)} \cdot \frac{ \Gamma (\alpha) }{\left( \beta -t\right)^ \alpha }= \frac{ \beta ^ \alpha }{\left( \beta -t\right)^ \alpha }


\end{align*}}\)
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: max123321 »

Ok, rozumiem te wszystkie przekształcenia, tylko dlaczego zmieniamy granice całkowania z \(\displaystyle{ \RR}\) na od \(\displaystyle{ 0}\) do nieskończoności? Bo w definicji funkcji tworzącej momenty jest po całym \(\displaystyle{ \RR}\). I jeszcze nie wiem dlaczego ma być \(\displaystyle{ \beta > t}\), ale to pewnie jakiś szczegół.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Funkcja tworząca momenty-rozkład Gamma

Post autor: janusz47 »

Granice całkowania wynikają z definicji rozkładu \(\displaystyle{ G(\alpha, \beta).}\)

\(\displaystyle{ \beta > t }\), bo podstawa potęgi funkcji tworzącej jest dodatnia.
ODPOWIEDZ